Проверочные тесты. Программная реализация датчика псевдослучайных, квазиравномерно распределенных чисел может быть получена любым программистом на основе разработанного им

Программная реализация датчика псевдослучайных, квазиравномерно распределенных чисел может быть получена любым программистом на основе разработанного им алгоритма с применением либо аналитических методов, либо методов перемешивания. Качество датчика необходимо проверить. Осуществляются проверки путем применения проверочных тестов. Рассмотрим проверочные тесты.

Тест частот. Отрезок [0; 1] разбивается на m (обычно 10 ‑ 20) равных интервалов, как это показано на рис. 3.13.

Рис. 3.13

Датчик псевдослучайных, квазиравномерно распределенных чисел генерирует N величин, каждая из которых принадлежит одному из m отрезков.

В результате проведения N испытаний будут получены эмпирические частоты n_i, представляющие собой число попаданий чисел датчика в интервал i, i = . Деление частот n_i на число опытов N даст эмпирические частоты.

Если рассматривать теоретическое равномерное распределение случайной величины на отрезке [0; 1], то теоретические вероятности попадания в каждый из m отрезков одинаковы и равны значению 1/m.

Для проверки согласия датчика псевдослучайных, квазиравномерно распределенных чисел и теоретического равномерного распределения полученные эмпирические частости n_i/N, (), сравнивают с теоретическими вероятностями 1/m.

Согласие проверяется по критерию c², так как случайная величина

(3.26)

подчиняется распределению c2 с (m ‑1) степенями свободы, где N — объем выборки (число опытов).

На рис. 3.14 приведен алгоритм теста частот. Рассмотрим его работу.

Рис. 3.14

В подпрограмме WWOD осуществляется ввод исходных данных для моделирования: N=0 — начальный такт моделирования; NZ — заданное число тактов моделирования (число опытов); m — число интервалов разбиения отрезка [0; 1]. В подпрограмме WWOD также осуществляется обнуление необходимых для работы идентификаторов и счетчиков.

В блоке 2 происходит наращивание тактов моделирования. В блоке 3 датчиком случайных чисел генерируется число Х. Затем это число Х сравнивается с правыми границами интервалов разбиения отрезка [0; 1]. Для этого в блоках 4 — 6 организован цикл по переменной I и сравнение числа Х с числом А, которое последовательно принимает значения: 1/ m, 2/ m, 3/ m, …, m / m.

При выполнении условия Х£A содержимое соответствующего счетчика увеличивается на единицу (см. блок 7).

В блоке 8 осуществляются проверки выполнения числа опытов. Если датчик псевдослучайных, квазиравномерно распределенных чисел выполнил генерацию заданного числа опытов NZ, то в блоке 9 происходит вычисление случайной величины c ².

В подпрограмме WIWOD (см. блок 10) на экран дисплея выводятся значения случайной величины c ², счетчиков K[I], в которых подсчитаны частоты n_i, а также могут быть выведены гистограммы эмпирических частостей = n_i / N =K[I]/NZ, как это показано на рис. 3.14.

На рис. 3.15 приведены гистограммы для заданного числа опытов NZ =10000. Очевидно, что форма гистограммы частот должна совпадать с формой гистограммы частостей, т.к. эмпирические частости определяются по формуле =K[I]/NZ.

Тесты пар частот. Пусть датчик псевдослучайных, квазиравномерно распределенных чисел генерирует последовательность чисел Х₁,Х₂,...,Х_N. Рассматриваются последовательные пары случайных чисел. Квадрат со сторонами [0; 1] на [0; 1] делится на m² частей, как это показано на рис. 3.15.

Если пары образовать в виде (Х₁,Х₂), (Х₃,Х₄)..., то каждая пара случайно попадает в одно из m² делений квадратной таблицы. Пары (Х₁,Х₂), (Х₃,Х₄)... взаимно независимы и результат их попадания в одно из m ² делений квадратной таблицы оценивается эмпирической частотой n_ij.

Если рассматривать теоретическое равномерное распределение случайной величины на отрезке [0; 1] и образование из чисел таких же пар, то теоретические вероятности попадания в каждый из m² делений квадратной таблицы одинаковы и равны значению 1/ m².

Рис. 3.15

Рис. 3.16

Для проверки согласия по данному тесту пар частот датчика псевдослучайных, квазиравномерно распределенных чисел и теоретического равномерного распределения полученные эмпирические частости 2n_ij/N, (i,j = ), сравнивают с теоретическими вероятностями 1/m ². Согласие проверяется по критерию c², так как случайная величина

(3.27)

распределена по закону c ² с (m²-m) степенями свободы, где N /2 — объем выборки пар случайных величин, генерированных датчиком псевдослучайных, квазиравномерно распределенных чисел. На рис. 3.17 приведен алгоритм для рассмотренного теста пар частот.

Рис. 3.17

В подпрограмме WWOD осуществляется ввод исходных данных для моделирования:

- N=0 — начальный такт моделирования;

- NZ — заданное число тактов моделирования;

- m — число интервалов разбиения отрезка [0; 1], происходит обнуление необходимых для работы идентификаторов и счетчиков.

В блоке 2 происходит наращивание тактов моделирования. В блоке 3 датчиком случайных чисел генерируется число Х. Затем в блоках 4 — 6 определяется индекс I. В блоке 7 датчиком случайных чисел генерируется второе число Х (тем самым образована пара (Х₁, Х₂)). В блоках 8 — 10 определяется индекс J.

В блоке 11 в счетчиках K[I,J] осуществляется подсчет частот попадания случайных пар (Х_i, Х_j) в соответствующие деления квадратной таблицы. В блоке 12 осуществляются проверки выполнения числа опытов. Если датчик псевдослучайных, квазиравномерно распределенных чисел выполнил генерацию заданного числа опытов NZ/2, то в блоке 13 происходит вычисление случайной величины c ².

В подпрограмме WIWOD (см. блок 14) на экран дисплея выводятся значения случайной величины c ², счетчиков K[I,J], значения эмпирических частостей = 2n_ij/N =2K[I,J]/NZ. Генерируемая выборка в данном методе используется неэффективно. Можно пары образовать в следующем виде: (Х₁, Х₂),(Х₂, Х₃),(Х₃, Х₄),....

Этот метод образования пар более эффективен, так как полнее использует выборку чисел, но из-за зависимостей пар случайная величина c ² определится по формуле

, (3.28)

где .

Случайная величина c ²будет определена распределением c ² с (m ²‑ m) степенями свободы.

На рис. 3.18 приведен алгоритм для рассмотренного теста пар частот с эффективным использованием выборки.

Рис. 3.18

В данном алгоритме в блоке 2 генрируется число Х₁, а затем в блоках 3 — 5 определяется индекс I. В блоке 6 происходит наращивание тактов моделирования. В блоке 7 датчиком случайных чисел генерируется число Х. В блоках 8 — 10 определяется индекс J (тем самым образована пара (Х₁, Х₂)). В блоке 11 в счетчиках K[I,J] осуществляется подсчет частот попадания случайных пар в деления квадратной таблицы. В блоке 12 индексу I присваивается значение индекса J. При N=2 будет образована пара (Х₂, Х₃) и т.д.