Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений





Очень многие процессы в природе и технике можно представить в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Во многих случаях эти системы представляются так:

Dx1/dt = F1 (t, x1, x2, …, xn) x1(t0) = x10

Dx2/dt = F2 (t, x1, x2, …, xn) x2(t0) = x20

Dxn/dt = Fn (t, x1, x2, …, xn) xn(t0) = xn0

Эти х описывают состояние системы. Изменятся они, изменится и объект. F1, …, Fn – некие функции от времени и х. Эти функции называются правыми частями. Для каждого уравнения они свои. Если мы нашли эти функции, то мы построили математическую модель объекта. К этим уравнениям добавляются начальные условия.

Замечание: в некоторых случаях требуется найти, что было с системой в прошлом. Это все вместе называется задачей Коши.

Dxi/dt = Fi (t, x1, x2, …, xn), i = 1,2,…,n xi(t0) = xi0, xi(t) =?

Этот набор иксов можно представить в виде точки в n-мерном пространстве. Это пространство называется фазовым. Если иксы меняются, то точка движется. Эта траектория называется фазовой.

Методы классической математики позволяют решить задачу Коши только в ограниченных случаях. Приближенное решение с помощью компьютера возможно практически всегда.

Метод Эйлера.

Время будем считать дискретным.

Dxi/dt = (xk+1i - xki)/tau, чем tau меньше, тем точнее.

Заменим все производные такими выражениями.

(xk+1i - xki)/tau = Fi (tk, x1к, x2к, …, xnк)

Правую часть возьмем в к-тый момент времени.

xk+1i = xki +tau* Fi (tk, x1к, x2к, …, xnк)

Если известны значения всех иксов в тк, то можно рассчитать значения иксов в к+1 момент времени.

Расчетные формулы метода Эйлера – это уравнения прямой. Прямая проходит как касательная в точке тк. Глобальная погрешность уменьшается с шагом по времени.

Выбор шага по времени.

Задача: выбрать шаг по времени и выполнить вычисления до максимального времени.

Составим таблицы и запишем в них значения иксов.

После этого шаг по времени уменьшаем вдвое и повторяем вычисления. Результат третьего шага сравниваем с результатами второго. Если эти результаты близки в пределах допустимой погрешности, то шаг по времени признается удачным. В ответ выдаются результаты первого опыта. Если в результате второго опыта получаются результаты, сильно отличающиеся от первого опыта, то шаг по времени признается неудачным и его нужно поделить ещё раз на 2 и снова повторить вычисления. Это будет опыт №3. После этого сравниваем результаты опытов №2 и №3 и т.д., пока не добьемся нужной точности. Все вычисления производятся с округлением, значит, мы не можем уменьшать шаг до бесконечности. Чем меньше шаг, тем больше считать – второй недостаток. Существует некоторый нижний предел шага по времени, ниже которого брать не следует.

Улучшенный метод Эйлера.

 

1 шаг. xk+0,5i = xki +0,5*tau* Fi (tk, x1к, x2к, …, xnк)

Fiк+0,5= Fi (tk+0,5, x1к+0,5, x2к+0,5, …, xnк+0,5)

2 шаг. xk+1i = xki +0,5*tau* Fiк+0,5

Улучшенный метод Эйлера состоит в следующем:

  1. каждый шаг состоит из 2 этапов: по простому методу делается половина шага, находится иксов для средней точки, с их помощью вычисляются значения правых частей для средней точки, и они определяют, как направлены касательные к решению средней точки; на втором этапе из исходной точки выполняется целый шаг по времени, при этом используются значения правых частей для средней точки.
  2. в итоге объем вычисленной работы увеличивается вдвое, но точность увеличивается очень сильно, так как производная в средней точке более информативна, она лучше передает скорость изменения функции на отрезке, чем производная, взятая с любого края на отрезке. Еще этот метод называют методом Рунге-Кутта-2.

Date: 2015-07-17; view: 287; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.006 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию