Лекция 10. Теория игр и принятие решений

Теория игр и принятие решений

В зависимости от условий внешней среды и степени информативности лица принимающего решение (ЛПР) производится следующая классификация задач принятия решений:

а) в условиях риска;

б) в условиях неопределённости;

в) в условиях конфликта или противодействия (активного противника).

Часть 1. Теория полезности и принятия решений.

Глава 1. Принятие решений в условиях риска.

§1. Критерий ожидаемого значения.

Использование критерия ожидаемого значения обусловлено стремлением максимизировать ожидаемую прибыль (или минимизировать ожидаемые затраты). Использование ожидаемых величин предполагает возможность многократного решения одной и той же задачи, пока не будут получены достаточно точные расчётные формулы. Математически это выглядит так: пусть Х – случайная величина с математическим ожиданием MX и дисперсией DX. Если x₁,x₂,...,x_n – значения случайной величины (с.в.) X, то среднее арифметическое их (выборочное среднее) значений имеет дисперсию . Таким образом, когда n ® ¥

® 0 и ® MX.

Другими словами при достаточно большом объёме выборки разница между средним арифметическим и математическим ожиданием стремится к нулю (так называемая предельная теорема теории вероятности). Следовательно, использование критерия ожидаемое значение справедливо только в случае, когда одно и тоже решение приходится применять достаточно большое число раз. Верно и обратное: ориентация на ожидания будет приводить к неверным результатам, для решений, которые приходится принимать небольшое число раз.

Пример 1. Требуется принять решение о том, когда необходимо проводить профилактический ремонт ПЭВМ, чтобы минимизировать потери из-за неисправности. В случае если ремонт будет производится слишком часто, затраты на обслуживание будут большими при малых потерях из-за случайных поломок.

Так как невозможно предсказать заранее, когда возникнет неисправность, необходимо найти вероятность того, что ПЭВМ выйдет из строя в период времени t. В этом и состоит элемент ”риска”.

Математически это выглядит так: ПЭВМ ремонтируется индивидуально, если она остановилась из-за поломки. Через T интервалов времени выполняется профилактический ремонт всех n ПЭВМ. Необходимо определить оптимальное значение Т, при котором минимизируются общие затраты на ремонт неисправных ПЭВМ и проведение профилактического ремонта в расчёте на один интервал времени.

Пусть р_t – вероятность выхода из строя одной ПЭВМ в момент t, а n_t – случайная величина, равная числу всех вышедших из строя ПЭВМ в тот же момент. Пусть далее С₁ – затраты на ремонт неисправной ПЭВМ и С₂ – затраты на профилактический ремонт одной машины.

Применение критерия ожидаемого значения в данном случае оправдано, если ПЭВМ работают в течение большого периода времени. При этом ожидаемые затраты на один интервал составят

ОЗ = ,

где M(n_t) – математическое ожидание числа вышедших из строя ПЭВМ в момент t. Так как n_t имеет биномиальное распределение с параметрами (n, p_t), то M(n_t) = np_t. Таким образом

ОЗ =

Необходимые условия оптимальности T^* имеют вид:

ОЗ (T^*-1) ³ ОЗ (T^*),

ОЗ (T^*+1) ³ ОЗ (T^*).

Следовательно, начиная с малого значения T, вычисляют ОЗ(T), пока не будут удовлетворены необходимые условия оптимальности.

Пусть С₁ = 100; С₂ = 10; n = 50. Значения p_t имеют вид:

T	рt		ОЗ(Т)
	0.05
	0.07	0.05
	0.10	0.12	366.7
	0.13	0.22
	0.18	0.35

T^*® 3, ОЗ(Т^*) ® 366.7

Следовательно профилактический ремонт необходимо делать через T^*= 3 интервала времени.

§2. Критерий “ожидаемое значение – дисперсия”.

Критерий ожидаемого значения можно модифицировать так, что его можно будет применить и для редко повторяющихся ситуаций.

Если х – с. в. с дисперсией DX, то среднее арифметическое имеет дисперсию , где n – число слогаемых в . Следовательно, если DX уменьшается, и вероятность того, что близко к MX, увеличивается. Следовательно, целесообразно ввести критерий, в котором максимизация ожидаемого значения прибыли сочетается с минимизацией её дисперсии.

Пример 2. Применим критерий “ожидаемое значение – дисперсия” для примера 1. Для этого необходимо найти дисперсию затрат за один интервал времени, т.е. дисперсию

з_Т =

Т.к. n_t, t = – с.в., то з_Т также с.в. С.в. n_t имеет биномиальное распределение с M(n_t) = np_t и D(n_t) = np_t(1–p_t). Следовательно,

D(з_Т) = D () = D () =

= = = n { – },

где С₂n = const.

Из примера 1 следует, что

М(з_Т) = М(з(Т)).

Следовательно искомым критерием будет минимум выражения

М(з(Т)) + к D(з_Т).

Замечание. Константу “ к ” можно рассматривать как уровень не склонности к риску, т.к. “ к ” определяет “степень возможности” дисперсии Д(з_Т) по отношению к математическому ожиданию. Например, если предприниматель, особенно остро реагирует на большие отрицательные отклонения прибыли вниз от М(з(Т)), то он может выбрать “ к ” много больше 1. Это придаёт больший вес дисперсии и приводит к решению, уменьшающему вероятность больших потерь прибыли.

При к =1 получаем задачу

По данным из примера 1 можно составить следующую таблицу

Т	pt	pt2			М(з(Т))+D(з(Т))
	0.05	0.0025			500.00
	0.07	0.0049	0.05	0.0025	6312.50
	0.10	0.0100	0.12	0.0074	6622.22
	0.13	0.0169	0.22	0.0174	6731.25
	0.18	0.0324	0.35	0.0343	6764.00

Из таблицы видно, что профилактический ремонт необходимо делать в течение каждого интервала Т^*= 1.