Модуль FA ед.об. (9.52) вектора FA ед.об. силы Ампера, действующего на проводник единичного

V ₀ объёма, определяется с учётом перпендикулярности векторов j плотности тока проводимости и H напряжённости магнитного поля электромагнитной волны, т.к. вектор j плотности тока проводимости коллинеарен вектору E напряжённости электрического поля электромагнитной волны, а вектора H напряжённостей магнитного и E электрического полей в электромагнитной волне взаимно перпендикулярны, вследствие чего этот модуль F_{A ед.об.} вектора F _{A ед.об.} силы Ампера имеет следующий вид: F_ед.об. = μ₀ jH. (9.53) Поверхностному слою (рис. 09.0.6) тела M с единичным V ₀ объёмом и dh толщиной вектором F _ед.об. (9.52) силы Ампера сообщается в единицу t времени модуль dK вектора d K импульса cилы (1.43) из раздела 01.0.0 " Физические основы механики ", который с учётом (9.53) имеет следующий вид: dK = F_ед.об.dh = μ₀ jHdh. (9.54) В этом же слое dh толщиной в единицу t времени согласно (9.48) поглощается dW энергия, которая имеет следующий вид: dW = Ejdh, (9.55)

где (9.48) Ej - количество джоулевой теплоты, поглощаемой единичным V ₀ объёмом. Возьмём отношение (9.54), (9.55) и получим следующее выражение для отношения K модуля вектора K импульса cилы, действующего на проводник произвольного V объёма в единицу t времени, к количеству W джоулевой теплоты, поглощаемой этим проводником произвольного V объёма в единицу t времени: dK/dW = μ₀H/E ↔ K/W = μ₀H/E. (9.56) Подставим в (9.56) соотношение ε₀^1/2E = μ₀^1/2H (9.29), справедливое при распространении плоской электромагнитной волны в вакууме для значений модулей E, H векторов

E и H напряжённостей соответственно электрического и магнитного полей в произвольный момент t времени и произвольной y координате, вследствие чего это выражение (9.56) принимает следующий вид: K/W = (ε₀μ₀)^1/2 = 1/c, (9.57) где с = 1/(ε₀ μ₀)^1/2 - скорость света в вакууме. Согласно (9.57) плоская электромагнитная волна, несущая в единицу t времени

W энергию, обладает модулем K вектора K импульса cилы, действующего на проводник произвольного V объёма в единицу t времени, который определяется следующим выражением: K = W/c. (9.58) Если проводник имеет единичный V ₀ объём, то в выражении (9.58) нужно использовать суммарную (9.35) w плотность энергии электромагнитной волны и модуль K_{ед.об .}вектора

K _{ед.об .} импульса cилы, действующего на проводник единичного V ₀ объёма в единицу t времени, в связи с чем выражение (9.58) принимает следующий вид: K_ед.об.= w/c. (9.59) Согласно (9.37) связь суммарной w плотности энергии плоской электромагнитной волны, распространяющейся в вакууме, с модулём S плотности потока энергии, т.е. с модулем вектора S Пойнтинга, имеет следующий вид: w = S/c. (9.60) Подставляем (9.60) в (9.59) и получаем следующее выражение, использующее модуль S вектора S Пойнтинга, для модуля K_ед.об. вектора K_ед.об. импульса, передаваемого плоской электромагнитной волной проводнику единичного V ₀ объёма в единицу t времени: K_ед.об.= S/c². (9.61) Выражение для вектора K_ед.об импульса, передаваемого плоской электромагнитной волной проводнику единичного V ₀ объёма в единицу t времени, сучётом одинакового направления этого вектора K_ед.об единицы объёма у этой электромагнитной волны с вектором S Пойнтинга, а такжес учётом связи (9.39) вектора S Пойнтинга и векторов E напряжённостей электрического и

H магнитного полей электромагнитной волны имеет следующий вид: K_ед.об. = S /c² = [E, H]/ c² ↔ S = c² K_ед.об. (9.62) Согласно (9.62) при переносе в вакууме энергии плоской электромагнитной волной вектор S плотности потока энергии равен вектору K_ед.об импульса, передаваемого этой электромагнитной волной проводнику единичного V ₀ объёма в единицу t времени, умноженному на квадрат c² скорости света в вакууме.

Лекция 12. Волновой характер электромагнитного поля движущегося заряда. Определение электромагнитного поля колеблющегося точечного заряда. Дипольный излучатель Герца. Интенсивность излучения диполя Герца. Средняя мощность электромагнитной волны, излучаемой движущимся с ускорением и колеблющимся точечным зарядом. Явления отражения и прохождения электромагнитной волны на плоской границе раздела двух сред. Закон Снеллиуса. Скин - эффект для плоской электромагнитной волны

Волновой характер электромагнитного поля движущегося заряда

вектором u скорости, модуль u которого много меньше v = 1/(ε₀εμ₀μ)^1/2 фазовой скорости электромагнитной волны в среде с постоянными относительными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями, т.е. u << v.

Это движение Q заряда c ρ(x, у, z, t) плотностью эквивалентно (6.7) из раздела 06.0.0 "Постоянный электрический ток" протеканию электрического тока со следующим значением вектора j_т (x, у, z, t) плотности тока проводимости, зависящим от (рис. 09.0.7) координат x, у и z, в котором в данный момент t времени находится этот Q заряда: j_т (x, у, z, t) = ρ(x, у, z, t) u (z, t), (9.63)

где u (t) - вектор u скорости Q заряда c ρ(x, у, z, t) плотностью, направленный в данный момент

t времени по OZ оси.

Согласно закону Био - Савара - Лапласа и принципу суперпозиции (7.6) из раздела 07.1.0 " Магнитостатика " результирующий вектор B_M магнитной индукции в данной M точке от движущегося Q заряда c ρ(x, у, z, t) плотностью в среде с постоянными относительными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями, равняется следующему интегралу: B_M = (μμ₀/4π)∫([ j_т, r]/ r³) dV, (9.64)

V

где r - радиус-вектор, проведённый из точкис координатами x, у, z, находящейся внутри шара V объёмом с R радиусом и Q зарядом, в M точку с координатами x_M, у_M, z_M, в которой в данный момент t времени определяется магнитная индукция; r = [(x_M - x)² + (y_M - y)² +(z_M -z)²]^1/2 - модуль r радиуса-вектора или расстояние между точкойс координатами x, у, z, находящейся внутри шара V объёмом с R радиусом и Q зарядом, и M точкой с x_M, у_M, z_M координатами, в которой в данный момент t времени определяется магнитная индукция.

Векторное [j_т, r] произведение (9.64) в прямоугольной декартовой системе координат с учётом равенства нулю в произвольный момент t времени проекций j _{т X}, j _{т Y} по OX, OZ осям вектора

j_т (x, у, z, t) плотности тока проводимости, т.е. j _{т X} = 0, j _{т Y} = 0, имеет следующий вид:

[j_т, r] = -j _{т Z} (y_M - y) i + j _{т Z} (x_M - x) j . (9.65)

Подставим (9.65) в (9.64) и получим следующее выражение результирующего вектора

B_M магнитной индукции в (рис. 09.0.7) данной M точке от движущегося Q заряда c ρ(x, у, z, t) плотностью в среде с постоянными относительными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями: B_M = (μμ₀/4π)∫{[- j _{т Z} (y_M - y) i + j _{т Z} (x_M - x) j ]/r³} dV, (9.66) V

где r = [(x_M - x)² + (y_M - y)² +(z_M -z)²]^1/2 - модуль r радиуса-вектора или расстояние между точкойс координатами x, у, z, находящейся внутри шара V объёмом с R радиусом и Q зарядом, и M точкой с координатами x_M, у_M, z_M, в которой в данный момент t времени определяется магнитная индукция.

Представим результирующий вектор B_M магнитной индукции в (рис. 09.0.7) данной M точке от движущегося Q заряда c ρ(x, у, z, t) плотностью в среде с постоянными относительными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями в следующем виде:

B_M = (μμ₀/4π) rot ∫( j_т/ r)dV, (9.67) V

Cогласно правилам вычисления ротации ротор от суммы векторов равен сумме роторов от каждого из векторов, входящих в эту сумму, поэтому (9.67) принимает следующий вид:

B_M = (μμ₀/4π) rot ∫( j_т/ r)dV = (μμ₀/4π)∫ rot ( j_т/ r)dV, (9.68) V V

Cогласно (5.42) из раздела 05.1.0 " Электростатика " координаты (9.68) ротации в прямоугольной декартовой системе координат с учётом равенства нулю в произвольный момент

t времени производных ∂ j _{т X}/ ∂ x, ∂ j _{т X}/ ∂ y, ∂ j _{т X}/ ∂ z и ∂ j _{т Y}/ ∂ x, ∂ j _{т Y}/ ∂ y, ∂ j _{т Y}/ ∂ z от соответствующих проекций j _{т X}, j _{т Y} по OX, OY осям вектора j_т (x, у, z, t) плотности тока проводимости, т.е. ∂ j _{т X}/ ∂ x= 0, ∂ j _{т X}/ ∂ y = 0,∂ j _{т X}/ ∂ z = 0 и ∂ j _{т Y}/ ∂ x = 0, ∂ j _{т Y}/ ∂ y = 0, ∂ j _{т Y}/ ∂ z = 0, имеют следующий вид:

rot ( j_т/ r)= i ∂ {j _{т Z}/[(x_M - x)² + (y_M - y)² +(z_M -z)²]^1/2}/ ∂ x + j ∂ { j _{т Z}/[(x_M - x)² + (y_M - y)² +(z_M -z)²]^1/2}/ ∂ y ↔

↔ rot ( j_т / r)= - i j _{т Z}(y_M - y)/[(x_M - x)² + (y_M - y)² +(z_M - z)²]^3/2} + j { j _{т Z}(x_M - x)/[(x_M - x)² + + (y_M - y)² +(z_M -z)²]^3/2} ↔ rot ( j_т / r)= [-j _{т Z} (y_M - y) i + j _{т Z}(x_M - x) j ]/r³. (9.69) Подставим (9.69) в (9.68) и получим следующее выражение результирующего вектора

B_M магнитной индукции в (рис. 09.0.7) данной M точке от движущегося Q заряда c ρ(x, у, z, t) плотностью в среде с постоянными относительными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями, равного выражению (9.66):

B_M = (μμ₀/4π)∫{[ - j _{т Z} (y_M - y) i + j _{т Z} (x_M - x) j ]/r³} dV, (9.70) V

Вследствие равенства (9.70), которое получено преобразованием (9.67), выражению (9.66), которое получено преобразованием (9.64), возможно приравнять (9.64) и (9.67), вследствие чего результирующий вектор B_M магнитной индукции в (рис. 09.0.7) данной M точке от движущегося Q заряда c ρ(x, у, z, t) плотностью в среде с постоянными относительными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями можно представить в следующем виде: B_M = (μμ₀/4π)∫([ j_т, r]/ r³) dV= (μμ₀/4π) rot ∫( j_т/ r)dV, (9.71) V V

Вектор B индукции магнитного поля, создаваемый током проводимости с вектором j_т (x, у, z, t) плотности, в (рис. 09.0.7) произвольной M точке пространства в среде с постоянными относительными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями, имеет на основании (9.71) следующий вид: B_M ≈ (μμ₀/4π) rot {(1/r)∫ u ρ[t - (r/ v )]dV, (9.72) V

где [t - (r/ v )] - параметр по аналогии (2.69) из раздела 02.0.0 "Колебания и волны", учитывающий ρ плотность заряда в шаре V объёмом с R радиусом, а также учитывающий τ = r/ v временное запаздывание, согласно которому вектор B индукции магнитного поляв M точке, находящейся на r расстоянии от заряженного шара V объёмом будет определяться не ρ(t) плотностью заряда в этом шаре V объёмом в данный момент t времени, а ρ[t - (r/ v )] плотностью заряда в заряженном шаре

V объёмом, которое было раньше данного момента t времени на величину τ = r/ v временного запаздывания, за которое электромагнитная волна с v = 1/(ε₀εμ₀μ)^1/2 фазовой скоростью распространится от заряженного шара V объёмом до M точки; 1/r - обратная величина r расстояния от заряженного шара V объёмом до M точки, в которой определяется вектор B индукции магнитного поля,вынесен за знак интеграла, поскольку это r расстояние намного больше R радиуса заряженного шара, т.е. r >>R, а интегрирование ведётся по V объёму, поэтому для удалённой на r расстояние M точки заряженный шар можно считать (рис.05.0.2), (рис.05.0.3) из раздела 05.1.0 "Электростатика" точечным Q зарядом; j_т (x, у, z, t) = u ρ[t - (r/ v )] - вектор плотности тока проводимости, вызванный (9.72) движением Q заряда по OZ оси как единое целое с вектором u скорости, который был раньше данного момента t времени на величину τ = r/ v временного запаздывания, за которое электромагнитная волна с v = 1/(ε₀εμ₀μ)^1/2 фазовой скоростью распространится от заряженного шара V объёмом до

M точки.

Поскольку Q заряд ρ плотностью (рис. 09.0.7) двигается как единое целое, т.е. все части этого

Q заряда двигаются с одинаковой скоростью, в выражении (9.72) из под знака интеграла может быть вынесен вектор u скорости движения этого заряда, вследствие чего это выражение (10.71) примет следующий вид: B_M ≈ (μμ₀/4π) rot ( u /r)∫ρ[t - (r/ v )]dV = {μμ₀Q[t - (r/ v )]/4π} rot ( u /r), (9.73) V

где Q[t - (r/ v )] = ∫ρ[t - (r/ v )]dV - полный заряд ρ плотностью в заряженном шаре V объёмом, который был

V

раньше данного момента t времени на величину τ = r/ v временного запаздывания, за которое электромагнитная волна с v = 1/(ε₀εμ₀μ)^1/2 фазовой скоростью распространится от заряженного шара V объёмом до M точки, в которой определяется вектор B_M индукции магнитного поля.

Вектор (рис. 09.0.7) p _Q дипольного электрического момента (5.61) из раздела 05.1.0 "Электростатика" полного Q заряда, имеющего z координату, имеет следующий вид: p _Q= Qz k, (9.74)

где k - единичный (1.1) из раздела 01.0.0 "Физические основы механики" векторпо OZ оси.

Первая p _Q ′ производная по t времени от вектора (9.74) p _Q дипольного электрического момента имеет следующий вид: p _Q ′ = Q(dz/dt) k = u Q ↔ u = p _Q ′ /Q, (9.75)

где u = j (dz/dt) - вектор u скорости Q заряда c ρ(x, у, z, t) плотностью, направленный в данный момент t времени по OZ оси.

Подставляем (9.75) в (9.73) и получаем выражение вектора B_M индукции магнитного поля в произвольной M точке пространства, находящейся (рис. 09.0.7) на r расстоянии от заряженного шара V объёмом, считая его точечным Q зарядом, в среде с постоянными относительными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостямив зависимости от величины первой

p _Q ′ производной по t времени от вектора (10.74) p _Q дипольного электрического момента, которое имеет следующий вид: B_M ≈ (μμ₀/4π) rot { p _Q ′ [t - (r/ v )]/r}, (9.76)

где p _Q ′ [t - (r/ v )] - первая производная по t времени от вектора (9.74) p _Q дипольного электрического момента, учитывающая величину Q[t - (r/ v )] заряда шара V объёмом, который был раньше данного момента t времени на величину τ = r/ v временного запаздывания, за которое электромагнитная волна с v = 1/(ε₀εμ₀μ)^1/2 фазовой скоростью распространится от этого заряженного шара V объёмом до M точки, в которой определяется вектор B индукции магнитного поля.

Определение электромагнитного поля колеблющегося точечного заряда

(рис. 09.0.8) впроизвольной M точке пространства с использованием правила определения проекций ротора (9.76) вектора p _Q ′ [t - (r/ v )]/r в прямоугольной декартовой системе координат, а также с использованием правил дифференцирования отношения p_ZQ ′ [t - (r/ v )]/r функций и

"цепного правила" при дифференцировании ∂{p_ZQ ′ [t - (r/ v )}/∂x, ∂{p_ZQ ′ [t - (r/ v )}/∂y, где r = (x² + у² + z²)^1/2: B _{M X} = - (μμ₀/4π)(y/r²){(1/r)p_ZQ ′ [t - (r/ v )] + (1/ v )p_ZQ ′′ [t - (r/ v )]} ≈ ≈ - (μμ₀/4π)(y/r²){(1/ v )p_ZQ ′′ [t - (r/ v )]}; (9.77) B _{M Y} = (μμ₀/4π)(x/r²){(1/r) p_ZQ ′ [t - (r/ v )] + (1/ v )p_ZQ ′′ [t - (r/ v )]} ≈ (μμ₀/4π)(x/r²){1/ v )p_ZQ ′′ [t - (r/ v )]}, (9.78)

где p_ZQ ′′ [t - (r/ v )] - вторая производная по t времени от вектора (10.74) p _Q дипольного электрического момента Q заряда; r = (x² + у² + z²)^1/2 - модуль (рис. 09.0.8) r радиуса-вектора или расстояние между шаром V объёмом с R радиусом и Q зарядом, и M точкой с координатами x, у, z, в которой в данный момент t времени определяется магнитная индукция; r >>R - расстояние от заряженного шара V объёмом до M точки, в которой определяется вектор B_M индукции магнитного поля, поэтому для удалённой на r расстояние M точки заряженный шар можно считать (рис.05.0.2), (рис.05.0.3) из раздела 05.1.0 "Электростатика" точечным Q зарядом; знак " ≈" использован потому, что для случая большого r расстояния произвольной M точки пространства, в которой определяется вектор B_M индукции магнитного поля, от Q заряда, т.е. при r → ∞, первым (1/r)p_ZQ ′ [t - (r/ v )] слагаемым в (9.77), (9.78) можно пренебречь по сравнению со вторым (1/ v )p_ZQ ′′ [t - (r/ v )] слагаемым.

Проекция B_Z на OZ ось вектора B_M индукции магнитного поля (рис. 09.0.8) впроизвольной M точке пространства равна нулю, т.к. вектор B_M индукции магнитного поля от движущегося по OZ оси Q заряда находится на окружности, плоскость которой параллельна координатной OXY плоскости.

В сферической системе координат вектор B_M индукции магнитного поля согласно выражению сферических координат через декартовы имеет проекцию B _{M φ}, отличную от нуля, по направлению

(рис. 09.0.8) e_φ орта, вследствие чего выражение вектора B_M индукции магнитного поля в M точке имеет следующий вид: B_M = (μμ₀/4πr){(1/ v ) p_ZQ ′′ [t - (r/ v )]}sinθ e_φ, (9.79)

где θ - угол, называемый в сферической системе координат полярным расстоянием.

Вектор H_M напряжённости магнитного поля в произвольной M точке пространства, возникающего вследствие движения Q заряда (рис. 09.0.8) по OZ оси с учётом связи вектора

B магнитной индукции с вектором H напряжённости магнитного поля (7.95) из раздела 07.2.0 " Магнитостатика " B = μ₀ μ H, имеет следующий вид: H_M = (1/4πr v )p_ZQ ′′ [t - (r/ v )]sinθ e_φ. (9.80)

относительными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями, выражение для вектора

E напряжённости электрического поля электромагнитной волны имеет следующий вид: E = H (μ₀μ/ε₀ε)^1/2

v = 1/(εε₀μμ₀)^1/2↔ (μ₀μ)^1/2 = 1/ v (ε₀ε)^1/2 ↔ E = H / v ε₀ε ↔ E = (1/4πεε₀r v ²) p_ZQ ′′ [t - (r/ v )]sinθ e _θ. (9.81)

где (рис. 09.0.9) e _θ - орт в сферической системе координат, направленный по касательной в M точке к координатной линии, представляющей собой окружность, вдоль которой меняется θ угол полярного расстояния в сферической системе координат; вектор H напряжённости магнитного поля направлен по e_φ орту φ угла долготы; вектор S Пойнтинга направлен по e_r орту r радиуса-вектора, поэтому вектор E напряжённости электрического поля, составляющий правовинтовую систему с векторами H, S, направленпо e _θ орту θ угла полярного расстояния.

Вектор D смещения электрического поля электромагнитной волны в произвольной M точке пространства, возникающего вследствие движения Q заряда (рис. 09.0.9) по OZ оси с учётом выражения (5.87) из раздела 05.2.0 " Электростатика ", связывающих вектор D электрического смещения с вектором E напряжённости электрического поля D = ε₀ε E, имеет с учетом (9.81) следующий вид: D = (1/4πr v ²) p_ZQ ′′ [t - (r/ v )]sinθ e _θ. (9.82)

Вектор (9.80) H напряжённости магнитного поля электромагнитной волны в произвольной M точке пространства, возникающего вследствие движения Q заряда (рис. 09.0.9) по OZ оси, имеет следующую проекцию H _φ на направление e_φ орта в сферической системе координат:

H _φ = (1/4πr v ) p_ZQ ′′ [t - (r/ v )]sinθ, (9.83)

где p_ZQ ′′ [t - (r/ v )] - проекция на OZ ось второй производной по t времени вектора p _Q дипольного электрического момента Q заряда, двигающегося по OZ оси, учитывающая величину Q[t - (r/ v )] заряда шара V объёмом, который был раньше данного момента t времени на величину τ = r/ v временного запаздывания, за которое электромагнитная волна с v = 1/(ε₀εμ₀μ)^1/2 фазовой скоростью распространится от этого заряженного шара V объёмом до M точки, в которой определяется вектор B индукции магнитного поля.

Проекция H _r на направление e_r орта равна нулю, т.к. вектор S Пойнтинга направленпо e_r орту. Векторы E, H напряжённостей электрического и магнитного поля электромагнитной волны согласно (9.39) S = [ EH] образуют с направлениемвектора S Пойнтинга правовинтовую систему, т.е. эти векторы E, H напряжённостей электрического и магнитного поля электромагнитной волны перпендикулярны e_r орту и, следовательно, вектору S Пойнтинга.

Проекция H _θ на направление e_θ вектора H напряжённости магнитного поля электромагнитной волны в произвольной M точке пространства, возникающего вследствие движения Q заряда

(рис. 09.0.9) по OZ оси, равна нулю, т.к. этот вектор H напряжённости магнитного поля электромагнитной волны перпендикулярен e_θ орту в сферической системе координат.

Проекции H _θ, H _r на направление соответственно e_θ, e_r ортов в сферической системе координат вектора H напряжённости магнитного поля электромагнитной волны в произвольной M точке пространства, возникающего вследствие движения Q заряда (рис. 09.0.9) по OZ оси, имеют следующий вид: H _θ = 0; H _r = 0. (9.84) Векторы (рис. 09.0.9) E, H напряжённостей электрического и магнитного поля электромагнитной волны согласно (9.39) S = [ EH] образуют с направлениемвектора S Пойнтинга правовинтовую систему, поэтому вектор E напряжённости электрического поля электромагнитной волны перпендикулярен e_φ орту, по которому направлен вектор E напряжённости электрического поля электромагнитной волны, т.е. этот вектор E напряжённости электрического поля электромагнитной волны направлен по e_θ орту и имеет в сферической системе координат только одну отличную от нуля E_θ проекцию, имеющую следующий вид: E_θ = (1/4πεε₀r v ²)p_ZQ ′′ [t - (r/ v )]sinθ, (9.85)

где при выводе E_θ проекции вектора E напряжённости электрического поля электромагнитной волны использовано соотношение (9.28) E_m/H_m = (μ₀μ/ε₀ε)^1/2 амплитуд E_m, H_m колебаний векторов напряжённостей соответственно E электрического и H магнитного поля электромагнитной волны, а также использовано выражение (9.10) фазовой скоростиv = 1/(εε₀μμ₀)^1/2 электромагнитной волны в среде с постоянными относительными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями.

Проекции E _φ, E _r на направление соответственно e_θ, e_r ортов в сферической системе координат вектора E напряжённости электрического поля электромагнитной волны в произвольной M точке пространства, возникающего вследствие движения Q заряда (рис. 09.0.9) по OZ оси, имеют следующий вид: E _φ = 0; E _r = 0. (9.86)

Согласно (9.85), (9.83) численные значения модулей E, H соответственно векторов (рис. 09.0.9) E, H напряжённостей электрического и магнитного поля электромагнитной волны обратно пропорциональны r расстоянию до M точки, в которой определяется поле электромагнитной волны. В направлении движения Q заряда по OZ оси, т.е. когда полярный θ угол равен нулю, эти модули E, H соответственно векторов E, H напряжённостей электрического и магнитного поля электромагнитной волны равны нулю.

 

Дипольный излучатель Герца. Интенсивность излучения диполя Герца

 

Простейшей системой, излучающей электромагнитные волны, является колеблющийся э лектрический диполь. Это (рис. 09.0.10) неподвижный положительный q₊ точечный заряд и колеблющийся около него с ω циклической частотой по аналогии с (1.19) из раздела 01.0.0 «Физические основы механики» q_- отрицательный заряд. Вектор p дипольного электрического момента такой системы будет зависеть от t времени согласно следующему уравнению с гармонической функцией: p = p_m cosωt, (9.87)

где p_m = - ql_m k - амплитудное значение вектора по аналогии с (5.61) из раздела 05.1.0 «Электростатика» электрического момента диполя с расстоянием l_m между зарядами q₊ и q_- в начальный момент времени t₀ = 0 с учётом выбранного направления OZ оси координат и направления вектора p дипольного электрического момента этого диполя; k – единичный вектор. Проекция p_ZQ ′′ на OZ ось вектора второй p ′′ (t) производной по t времени от вектора (9.87) p дипольного электрического момента, применяющаяся в (9.83), (9.85) для определения проекций E_θ, H _φ, на направление соответственно e_φ, e_θ ортов в сферической системе координат векторов (рис. 09.0.9)

E, H напряжённостей электрического и магнитного поля электромагнитной волны в произвольной

M точке пространства, имеет следующий вид: p_ZQ ′′ (t) = - ω²p_Zmcosωt, (9.88)

где pZm = - qlm -проекция на OZ ось (9.87) амплитудногозначения вектора электрического моментадиполя в начальный момент времени t0 = 0 с учётом выбранного направления OZ оси координат и направления вектора p дипольного электрического момента этого диполя. Подставим (9.88) в (9.83), (9.85) и получим следующие выражения проекций Eθ, Hφ на направление соответственно eθ, eφ ортов в сферической системе координат векторов (рис. 09.0.9) E, H напряжённостей электрическогои магнитногополя

Z

 

электромагнитной волны в произвольной M точке пространства в данный момент t времени, вызванного колеблющимся с циклической ω частотой (рис. 09.0.10) по OZ оси координат э лектрическим диполем: E_θ = - (ω²p_Zmsinθ /4πεε₀r v ²)cos[ωt - (2πr/λ)], (9.89)

H _φ = -(ω²p_Zm sinθ /4πr v )cos[ωt - (2πr/λ)], (9.90)

где (2πr/λ) - отставание по аналогии (2.69) из раздела 02.0.0 "Колебания и волны" фазового угла электромагнитной волны с λ длиной волны в среде с постоянными относительными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями в зависимости от r расстояние до M точки, в которой определяется поле электромагнитной волны, от фазового ωt угла колеблющегося э лектрического диполя в данный момент t времени.

А мплитуды (9.89) E_θm = ω²p_Zmsinθ /4πεε₀r v ², (9.90) H _{φ m}= ω²p_Zmsinθ /4πr v векторов

E и H напряжённостей соответственно электрического и магнитного полей уменьшаются при удалении на расстояние r от центра электрического диполя или возбудителя электромагнитной волны и кроме этого зависят (рис. 09.0.9) от полярного θ расстояния, т.е. θ угла между направлением

r радиуса - вектора и осью электрического диполя, находящейся на OZ оси координат, поэтому имеет место следующее соотношение: E_θm, H _{φ m} ~ (1/r)sinθ. (9.91)

Δt <S> = ∫{[E_θm H _{φ m} cos²[ωt - (2πr/λ)]/Δt}dt ~ E_θmH _{φ m} ~ (1/r²)sin²θ, (9.92) 0

где <S> называют интенсивностью электромагнитной волны при излучении диполем Герца. Зависимость <S (θ) > интенсивности электромагнитной волны от θ угла между направлением

r радиуса - вектора (рис. 09.0.11) и осью электрического диполя, находящейся на OZ оси координат,

называют диаграммой направленности. Сильнее всего излучает электрический диполь в направлениях, перпендикулярных к егооси, находящейся на OZ оси координат, т.е. при θ = π/2. В направлениях, совпадающих (рис. 09.0.11) с осью электрического диполя, находящейся на OZ оси координат, т.е. при θ = 0 или π, электрический диполь не излучает.

Средняя мощность электромагнитной волны, излучаемой движущимся с ускорением и колеблющимся точечным зарядом

Вектор (9.39) S Пойнтинга, модуль S которого, т.е. количество энергии, переносимое электромагнитной волной через поверхность, перпендикулярную направлению распространения электромагнитной волны и равной единичной площади за единицу t времени ив данный момент этого t времени от движущегося (рис. 09.0.12) по OZ оси Q заряда, с учётом (9.83), (9.85) направления векторов E, H напряжённостей электрического и магнитного поля электромагнитной волны в произвольной M точке пространства по направлению соответственно e_θ, e_φ ортов в сферической системе координат имеет следующий вид:

S = [ E, H] = [ E_θ e_θ, H _φ e_φ] = [e_θ (1/4πεε₀r v ²)p_Q ′′ [t - (r/ v )]sinθ, e_φ (1/4πr v )p_Q ′′ [t - (r/ v )]sinθ ] = = (p_Q ′′ sinθ/4πr)²(1/εε₀ v ³) e_r, (9.93)

сферическую поверхность F площадью, с учётом направления вектора S Пойнтинга электромагнитной волны по (9.93) e_r орту и перпендикулярности этого вектора S Пойнтинга элементарной dF площадки в сферической системе координат, равна (9.47) следующему потоку

Ф вектора S Пойнтинга через эту сферическую поверхность F площадью:

P = Ф = ∫ S d F = ∫ e_r (p_Q ′′ sinθ/4πr)²(1/εε₀ v ³) e_r r²sinθ_dF dθ dφ =

F F

π 2π π 2π

= [(p_Q ′′ )²/16π²εε₀ v ³] ∫sin³θ_dFdθ ∫dφ = - [(p_Q ′′ )²/16π²εε₀ v ³] ∫(1 - cos²θ_dF)dcosθ_dF ∫dφ =

0 0 0 0

π π

= - [(p_Q ′′ )²/16π²εε₀ v ³][(cosθ_dF)| - (cos³θ_dF/3)|]2π = - [(p_Q ′′ )²/16π²εε₀ v ³][-2 - (-2/3)]2π = 0 0

= - [(p_Q ′′ )²/8πεε₀ v ³](- 4/3) = (p_Q ′′ )²/6πεε₀ v ³, (9.95)

где dF =r²sinθ_dF dθ dφ - площадь элементарной поверхности в сферической системе координат, имеющей (рис. 09.0.12) θ_dF угол полярного расстояния и φ_dF угол долготы и находящейся от O начала координат на r расстоянии.

Подставляем в (9.95) модуль (9.74) p_Q ′′ = Qd²z/dt² второй производной по t времени вектора

p _Q дипольного электрического момента Q заряда и получаем следующее выражение, связывающее мощность (рис. 09.0.12) P излучения движущегося Q заряда в данный t времени с его a модулем вектора a ускорения: P =Q²a²/6πεε₀ v ³, (9.96)

Согласно выражению (9.96) при равенстве нулю модуля a вектора a ускорения при движении

Q заряда поток Ф вектора S Пойнтинга через сферическую поверхность F площадью равен нулю. Таким образом, мощность (рис. 09.0.12) P излучения, т.е. количество энергии, переносимой электромагнитной волной через всю сферическую поверхность F площадью за единицу времени в данный момент t времени при (9.74) равенстве нулю модуля a = d²y/dt² вектора a ускорения движения Q заряда, равна нулю.

Однако это не выполняется при движении зарядов с релятивистскими скоростями, что наблюдается в эффекте Вавилова - Черенкова.

Мощность (рис. 09.0.12) P излучения, т.е. количество энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени в данный момент t времени через всю сферическую поверхность F площадью, вызванное колеблющимся с ω циклической частотой (рис. 09.0.10) по

OZ оси координат э лектрическим диполем, определяется подстановкой (9.89), (9.90) проекций E_θ, H _φ на направление соответственно e_φ, e_θ ортов в сферической системе координат векторов E, H напряжённостей электрического и магнитного поля электромагнитной волны в произвольной

M точке пространства в (9.95), вследствие чего выражение P мощности излучения колеблющимся с

ω циклической частотой э лектрическим диполем имеет следующий вид:

P = Ф = ∫ S d F =

F

∫ [e_θ [-(ω²p_Zmsinθ /4πεε₀r v ²)cos[ωt -(2πr/λ)], e_φ [-(ω²p_Zm sinθ /4πr v ) cos [ωt -(2πr/λ)] ]e_r r²sinθ_dF dθ dφ =

F

= ∫ [e_r [(ω⁴p_Zm ²sin²θ/16π²εε₀ r² v ³)cos²[ωt - (2πr/λ)] e_r r²sinθ_dF dθ dφ =

F

π 2π

= (ω⁴p_Zm ²cos²[ωt - (2πr/λ)]/16π²εε₀ v ³) ∫sin³θ_dFdθ ∫dφ = ω⁴p_Zm ²cos²[ωt - (2πr/λ)]/6πεε₀ v ³. (9.97) 0 0

Среднее значение <P> (рис. 09.0.12) мощности P излучения, т.е. количество энергии, переносимой в среднем за Δt интервал времени электромагнитной волной через всю сферическую поверхность F площадью r радиуса, вызванное колеблющимся с ω циклической частотой э лектрическим диполем в волновой зоне этого электрического диполя, т.е. с r радиусом сферической поверхности F площадью много большим (рис. 09.0.10) расстояния l_m между зарядами q₊ и q_-, которые они имеют в начальный t₀ = 0 момент времени, с учётом (9.97) имеет следующий вид:

Δt <Р> = ∫{ω⁴p_Zm ²cos²[ωt - (2πr/λ)]/6πεε₀ v ³}dt/Δt = ω⁴p_m ²/12πεε₀ v ³. (9.98)

0

Согласно (9.98) среднее значение <P> мощности P излучения пропорционально четвёртой степени ω циклической частоты колебаний э лектрического диполя, поэтому для эффективного излучения электромагнитных волн используют источники в высокочастотном диапазоне спектра электромагнитного излучения.

Явления отражения и прохождения электромагнитной волны на плоской границе раздела двух сред. Закон Снеллиуса. Скин - эффект для плоской электромагнитной волны

среду с n_д2 показателем преломления, электромагнитная волна частично отражается и имеет направление вектора S′ плотности потока энергии или вектор Пойнтинга, совпадающее с 1′ лучом, а также частично преломляется и имеет направление вектора S′′ плотности потока энергии или вектор Пойнтинга, совпадающее с 2 лучом. В среде с n_д1 показателем преломления на падающие векторы E₀ и H₀ напряжённостей соответственно электрического и магнитного полей накладываются отражённые векторы E_отр и H_отр напряжённостей соответственно электрического и магнитного полей электромагнитной волны. В среде с n_д2 показателем преломления имеются только преломлённые векторы E_пр, H_пр напряжённостей соответственно электрического и магнитного полей.

Падающие E₀, H₀, отражённые E_отр, H_отр и преломлённые E_пр, H_пр векторы напряжённостей соответственно электрического и магнитного полей электромагнитной волны имеют векторы тангенциальных составляющих E₀^τ,