Аналогичная последовательность возникновения полей происходит, если рассмотреть уравнение (9.18) с отличием в том, что существуют электрическоеполе с вектором

E _X напряжённости и магнитное поле с вектором H_Z напряжённости.

Принято (рис. 09.0.3) электрическое поле плоской электромагнитной волны направлять вдоль OZ оси с вектором E_Z напряжённости, а магнитное поле направлять вдоль OX оси с вектором H _X напряжённости, поэтому для математического описания плоской электромагнитной волны выбрали (9.19) уравнение, положив E _X= H_Z = 0.

Продифференцируем по y координате первое уравнение (9.18) и поменяем в смешанной производной очередность дифференцирования, вследствие чего получим следующее выражение: ∂²E_Z/∂y² = - μ₀μ(∂ / ∂y)(∂H_X/∂t) ↔ ∂²E_Z/∂y² = - μ₀μ(∂ / ∂t)(∂H_X/∂y). (9.20) Подставим в (9.20) из второго (9.18) уравнения выражение ∂H_X /∂y= - ε₀ε(∂E_Z /∂t) с учётом (9.9) квадрата c² = 1/ε₀μ₀ скорости света в вакууме, вследствие чего получим следующее выражение: ∂²E_Z/∂y² = εμ(∂²E_Z/∂t²) / c². (9.21) Продифференцируем по y координате второе уравнение (9.18) и поменяем в смешанной производной очередность дифференцирования, вследствие чего получим следующее выражение: ∂²H_X/∂y² = - ε₀ε(∂ / ∂y)(∂E_Z/∂t) ↔ ∂²H_X/∂y² = - ε₀ε(∂ / ∂t)(∂E_Z/∂y). (9.22) Подставим в (9.22) из первого уравнения (9.18) выражение ∂E_Z/∂y = - μ₀μ(∂H_X/∂t) с учётом (10.8) квадрата c² = 1/ε₀μ₀ скорости света в вакууме, вследствие чего получим следующее выражение: ∂²H_X/∂y ² = εμ(∂²H_X/∂t²) / c² . (9.23) Сравнивая (9.21), (9. 23) с (9. 9), приходим к выводу, что выражения (9.21), (9. 23) являются частным случаем трёхмерных волновых уравнений (9.9) и справедливы для плоской электромагнитной волны, которая распространяется в нейтральной, непроводящей среде с постоянными ε диэлектрической, μ магнитной проницаемостями, в которой равняется нулю ρ плотность свободных зарядов, т.е. ρ= 0, и равняется нулю вектор j = 0 плотности токов проводимости, т.е. j = 0.

Простейшим решением одномерных волновых уравнений (9.21), (9. 23) по аналогии с

s отклонением от положения равновесия частиц упругой среды в произвольный момент t времени (рис.02.0.17) из раздела 02.0.0 " Колебания и волны " является следующая зависимость проекций E_Z, H_X на OZ, OX оси координат соответственно векторов напряжённостей E_Z электрического и H _X магнитного поля, от t времени и y координаты по гармоническому (2.69)из раздела 02.0 " Колебания и волны "закону: E_Z = E_mcos(ωt - ky+ φ₁) (9.24) H_X = H_mcos(ωt - ky+ φ₂),

где ω - циклическая частота колебаний векторов напряжённостей E_Z электрического поля вдоль OZ оси и H _X магнитного поля вдоль OX оси; k = ω/ v (2.70)из раздела 02.0.0 " Колебания и волны "- волновое число, v = с/(εμ)^1/2 - фазовая (9.10) скорость плоской электромагнитной волны; E_m и H_m - амплитуды колебаний векторов напряжённостей соответственно E_Z электрического поля вдоль OZ оси и H _X магнитного поля вдоль OX оси; φ₁ и φ₂ - начальные фазы колебанийвекторов напряжённостей соответственно E_Z электрического поля вдоль OZ оси и H _X магнитного поля вдоль OX оси.

Подставим (9.24) в (9.18) и продифференцируем по t времени и y координате, вследствие чего получим следующие выражения: kE_msin(ωt - ky+ φ₁) = μ₀μωH_msin(ωt - ky+ φ₂)

kH_msin(ωt - ky+ φ₁) = ε₀εωE_msin(ωt - ky+ φ₂). (9.25) Вследствие равенства функций в (9.25) равны аргументы и коэффициенты передэтими функциями, вследствие чего получим следующие выражения: φ₁ = φ₂; (9.26) kE_m = μ₀μωH_m

kH_m = ε₀εωE_m. (9.27)

Согласно (9.26) колебания векторов напряжённостей E_Z электрического поля вдоль OZ оси и H _X магнитного поля вдоль OX оси происходят в одной фазе или синфазно. Разделим в (9.27) первое уравнение на второе, вследствие чего получим следующие выражения: E_m/H_m = μ₀μH_m/ε₀εE_m ↔ E_m/H_m = (μ₀μ/ε₀ε)^1/2. (9.28) Согласно (9.28) отношение E_m/H_m амплитуд колебаний векторов напряжённостей E_Z электрического поля вдоль OZ оси и H _X магнитного поля вдоль OX оси зависит от постоянных

ε диэлектрической, μ магнитной проницаемостей среды. Для вакуума, у которого ε = μ = 1, выражение (9.28) принимает следующий вид: E_m/H_m = (μ₀/ε₀)^1/2. (9.29)

Плотность энергии плоской электромагнитной волны. Вектор Пойнтинга

Например (рис. 09.0.4), если в момент t₁ времени в точке с y₁ координатой они имели значение, равное нулю то через интервал времени, равный четверти T/4 периода колебаний электромагнитной волны, векторы напряжённостей E электрического поля вдоль OZ оси и H магнитного поля вдоль OX оси достигнут максимального значения, т.е. (9.30), (9.31)значений E_m и H_m .

В произвольный момент t времени и произвольной y координате электромагнитная волна, распространяясь по OY оси в направлении единичного j орта,имеет (9.32) векторы E напряжённостей электрического поля вдоль OZ оси и H магнитного поля вдоль OX оси. Вследствие наличия вектора E напряжённости электрического поля электромагнитная волна в среде с относительной ε диэлектрической проницаемостью обладает (5.152) из раздела

05. 2.0 " Электростатика " следующей плотностью w_e энергии электрического поля:

w_e = ε₀εE²/2, (9.33) где E - модуль вектора E напряжённости электрического поля электромагнитной волны в вакууме в произвольный момент t времени и произвольной y координате. Вследствие наличия вектора H напряжённости магнитного поля электромагнитная волна в среде с относительной μ магнитной проницаемостью обладает (8.35) из раздела 08.0.0 " Переменные электрические и магнитные поля. Уравнения Максвелла " следующей плотностьюэнергии магнитного поля: w_m = μ₀ μH²/2, (9.34) где H - модуль вектора H напряжённости магнитного поля электромагнитная волна в вакууме в произвольный момент t времени и произвольной y координате.

Суммарная w плотность энергии электромагнитной волны в среде с постоянными относительными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями с учётом (9.33) и (9.34) имеет следующий вид: w = w_e + w_m = (ε₀εE²/2) + (μ₀ μH²/2). (9.35) Преобразуем (9.35) с учётом условия (9.28) E_m/H_m = (μ₀μ/ε₀ε)^1/2, справедливого при распространении электромагнитной волны в среде с постоянными относительными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями для значений модулей E, H векторов напряжённостей E и H соответственно электрического и магнитного полей в произвольный момент t времени и произвольной y координате, вследствие чего выражение суммарной w плотности энергии электромагнитной волны имеет следующий вид:

w = (1/2)(ε₀εE²ε₀εE²)^1/2 + (1/2)(μ₀ μH²μ₀ μH²)^1/2 = (1/2)(ε₀εE²μ₀ μH²)^1/2 + + (1/2)(μ₀ μH²ε₀εE²) ^1/2 = (μ₀με₀ε)^1/2EH = (1/ v )EH, (9.36) где v = 1/(ε₀εμ₀μ)^1/2 - фазовая скорость электромагнитной волны в среде с постоянными относительными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями по аналогии со скоростью волны в упругой среде (2.75) из раздела 02.0.0 "Колебания и волны"

Умножим (9.36) на фазовую v скорость электромагнитной волны в среде с постоянными относительными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями и получим количество S энергии, переносимой электромагнитной волной через поверхность, перпендикулярную направлению распространения электромагнитной волны и равной единичной площади, за единицу t времени ив данный момент этого t времени. Эта величина является S модулём плотности потока энергии и имеет следующий вид: S = v w = EH. (9.37) Векторы E напряжённостей электрического поля вдоль OZ оси и H магнитного поля вдоль OX оси в произвольной y координате по OY оси и произвольное t время образуют правовинтовую систему с направлением распространения волны, совпадающем на рис. 09.0.4 с направлением

j единичного орта.

Направление распространения электромагнитной волны является направлением переноса энергии. Векторное произведение [EH] совпадает (рис. 09.0.4) с направлением j единичного орта, а значит совпадает с направлением переноса энергии. В силу взаимной перпендикулярности векторов напряжённостей E электрического и H магнитного полей модуль | [ EH]| векторного произведения с учётом (9.37) равен S модулю плотности потока энергии, вследствие чего выражение этого S модуля плотности потока энергии электромагнитной волны имеет следующий вид: | [ EH]| = EH = S. (9.38) С учётом (9.38) вектор S плотности потока энергии электромагнитной волны или вектор Пойнтинга имеет следующий вид: S = [ EH]. (9.39) Согласно (9.38) вектор S Пойнтинга имеет направление, совпадающее с направлением переноса электромагнитной волной энергии. Модуль вектора Пойнтинга равняется S модулю (9.37) плотности потока энергии, переносимой электромагнитной волной.

Теорема Пойнтинга для плоской электромагнитнойволны

Поток Ф энергии, переносимой электромагнитной волной через некоторую поверхность с F площадью по аналогии с Ф_m магнитным (7.17) из раздела 07.1.0 " Магнитостатика " потоком с учётом (9.39) имеет следующий вид: Ф = ∫ S d F. (9.40) F По цилиндрическому проводнику (рис. 09.0.5) с σ удельной проводимостью течёт ток проводимости с постоянным по всему объёму цилиндрического проводника вектором j плотности, направленным перпендикулярно основаниям этого цилиндра. На участке проводника l длиной сторонние силы отсутствуют, т.е. нет внешних источников ЭДС, поэтому связь вектора j плотности токов проводимости в проводникес вектором E напряжённости внешнего электрического поля описывается (6.19) из раздела 06.0.0 "Постоянный электрический ток" законом Ома в дифференциальной форме, вследствие чего выражение вектора j плотности токов проводимости имеет следующий вид: j = σ E, (9.41) где σ - удельная электрическая проводимость проводника. Согласно (7.92) из раздела 07.2.0 " Магнитостатика " циркуляция вектора H напряжённости магнитного поля поокружности r радиуса и 2πr длиной в области цилиндрического проводника, занятого магнетиком, равна

I_рез результирующему макроскопическому или току проводимости через поверхность, которую охватывает эта окружность r радиусом, вследствие чего выражение циркуляции вектора H напряжённости магнитного поля поокружности r радиуса имеет следующий вид: H2πr = I_рез . (9.42)

Результирующий I_рез ток проводимости (рис. 09.0.5) через поверхность круга πr² площадью с постоянным по всей этой площади j модулем вектора j плотности токов проводимости, направленных перпендикулярно кругу, имеет следующий вид: I_рез = jπr². (9.43)Подставляем (9.43) в (9.42) и получаем следующее выражение, связывающее модуль H вектора H напряжённости магнитного поля наокружности r радиуса с модулем j вектора j плотности тока проводимости, направленного перпендикулярно кругу πr² площадью: H2πr = jπr² ↔ H = jr/2. (9.44)

напряжённостей E электрического и H магнитного полей внутрь (рис. 09.0.5) воображаемого цилиндра V объёма по правовинтовой системе, т.е. если смотреть из конца вектора S Пойнтинга, то для совмещения вектора E с вектором H по кратчайшему пути следует вращать вектор E против "часовой стрелки".

Площадь F боковой поверхности (рис. 09.0.5) воображаемого цилиндра V объёма с r радиусом и l длиной имеет следующий вид: F = 2πrl. (9.46) В силу постоянства модуля (9.45) S вектора S Пойнтинга, перпендикулярногок F площади боковой поверхности воображаемого цилиндра V объёмом, втекающий поток (9.40) Ф энергии, переносимой электромагнитной волной через эту F площадь боковой поверхности воображаемого цилиндра V объёма, с учётом (9.45), (9.46) имеет следующий вид:

Ф = ∫ S d F = SF = (Ejr/2)2πrl = Ejπr² l = EjV, (9.47) F

где V = πr²l - объём воображаемого цилиндра (рис. 09.0.5) с r радиусом и l длиной. Величина Ej в (9.47) с учётом (9.41) закона Ома в дифференциальной форме, взятого по модулю, принимает следующий вид: Ej = j²/σ = ρj², (9.48) где ρ - удельное электрическое сопротивление проводника. Величина ρj² в (9.48) есть количество джоулевой теплоты, поступающей в единичный объём воображаемого цилиндра за единицу t времени. Умножением ρj² на весь V объём воображаемого цилиндра получаем всё количество джоулевой теплоты, поступающей в V объём воображаемого цилиндра за единицу t времени.

Выражение (9.47) есть частный случай теоремы Пойнтинга о связиэнергии электромагнитной волны с джоулевой теплотой, выделяющейся в проводнике в случае отсутствия сторонних сил, т.е. когда внешние источники ЭДС отсутствуют. Векторы E напряжённости электрического и H магнитного полей на F площади (рис. 09.0.5) боковой поверхности воображаемого цилиндра V объёма можно рассматривать присущими электромагнитной волне, которая переносит энергию по направлению вектора S Пойнтинга.

Энергия и импульс плоской электромагнитной волны

Поглощаясь в каком-либо M теле (рис. 09.0.6), электромагнитная волна сообщает этому телу некоторый импульс, т.е. оказывает на него давление. Плоская электромагнитная волна, т.е. такая, у которой векторы E напряжённостей электрического и H магнитного полей, находящиеся в равных фазах, лежат в плоскости, например, (рис. 09.0.6) M тела, имеет вектор S Пойнтинга, перпендикулярный плоскости этого M тела. Плоское M тело имеет малую величину удельной

σ электрической проводимости и постоянные относительные ε диэлектрическую и

μ магнитную проницаемости, равные единице. На (рис. 09.0.6) плоскости M тела сторонние силы отсутствуют, т.е. нет внешних источников ЭДС, поэтому связь вектора j плотности тока проводимости в M теле с вектором E напряжённости внешнего электрического поля описывается (6.19) из раздела 06.0.0 "Постоянный электрический ток" законом Ома в дифференциальной форме, вследствие чего выражение вектора j плотности тока проводимости имеет следующий вид:

j = σ E, (9.49)