Моделирование структурных примитивов. Постановка задачи идентификации. Методы корреляционного и регрессионного анализа

Для решения второй задачи аппроксимации используют методы регрессионного и корреляционного анализа. При помощи регрессионного анализа на основании экспериментальных данных строится уравнение, вид которого задает исследователь. Например, линейный парный регрессионный анализ заключается в определении параметров эмпирической линейной зависимости v(x)=b₁x+b₀, где для определения неизвестных коэффициентов b₁ и b₀ используют систему линейных уравнений

Решение этой системы имеет вид:

Найденные коэффициенты регрессионного уравнения обеспечивают минимум среднеквадратических отклонений расчетных значений v от экспериментальных. Параболическая регрессия обеспечивает получение трех параметров b₀, b₁ и b₂ приближения экспериментальной зависимости параболической функцией v(x)= b₀+b₁x+b₂x².

Для моногофакторных моделей (две и более переменных х) наиболее распространенными являются модели в виде полинома степени d:

В частном случае это может быть линейный полином ,

или неполный квадратичный полином .

Корреляционный анализ позволяет оценить степень взаимосвязи двух переменных по набору их экспериментальных значений. Применительно к задачам аппроксимации корреляционный анализ используют для оценки согласованности выбранной аппроксимации с экспериментальными данными. Для оценки рассчитывают коэффициент корреляции между расчетными v_р и экспериментальными v_э значениями базисной переменой:

Значение R лежит в пределах от -1 до +1. Коэффициент -1 соответствует максимальной отрицательной корреляции, когда с ростом параметра, откладываемого по оси х, параметр откладываемый по оси y уменьшается, а все точки лежат точно на прямой. Значение 0 соответствует отсутствию корреляции; +1 – максимальной положительной корреляции. Чем ближе значение R по модулю к 1, тем бóльшую точность имеет аппроксимация. Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации или коэффициентом точности аппроксимации.

Методы планирования эксперимента. Логические основания планирования эксперимента. Матрицы планирования. Типы экспериментов.

Под планированием эксперимента понимается процедура выбора числа опытов и условий их проведения, необходимых для идентификации с требуемой точностью. Все переменные, определяющие объект моделирования, изменяются одновременно по специальным правилам. Результаты эксперимента представляются в виде математической модели, обладающей определенными статистическими свойствами, например минимальной дисперсией оценок параметров модели.

Варьирование одного фактора на нескольких уровнях при фиксированном постоянном значении всех остальных факторов называется однофакторным экспериментом. В этом случае можно получить количественную оценку эффекта только одного фактора. Влияние других факторов оценить нельзя. Выводы о влиянии изучаемого фактора могут существенно различаться в зависимости от уровня фиксирования прочих факторов. Это может привести к неадекватности моделей идентификации. Только в тех случаях, когда отклик является функцией одного фактора, однофакторный эксперимент вполне закономерен.

Однако на практике приходится иметь дело с многофакторными объектами, где однофакторный эксперимент неэффективен. В многофакторных планах эксперимента одновременно варьируется несколько факторов, а не каждый в отдельности. В планировании эксперимента сам эксперимент рассматривается как объект исследования и оптимизации. Планирование многофакторных экспериментов – основной подход к организации и проведению экстремальных исследований сложных систем. Цель планирования эксперимента – извлечение максимума информации при заданных затратах на эксперимент либо минимизация затрат при получении информации, достаточной для решения задач. Планирование эксперимента позволяет соразмерить число опытов поставленной задаче.

Табличная форма плана эксперимента называется матрицей планирования. Построение матрицы начинается с определения числа рассматриваемых факторов и уровней варьирования факторов. Уровни варьирования кодируются. Если при проведении эксперимента реализуются все возможные сочетания уровней факторов, такой эксперимент называется полным факторным экспериментом.