Энергия электрического поля. Плотность энергии

Вернемся к обсуждению вопроса об энергии взаимодействия электрических зарядов. Ранее мы показали, что потенциальная энергия электростатического взаимодействия двух точечных зарядов q ₁ и q ₂, находящихся на расстоянии r друг от друга (рис. 212), рассчитывается по формуле

U (r)=14 πε 0 q 1 q 2 r. (1)

Придадим этой формуле несколько иной вид

U (r)=14 πε 0 q 1 q 2 r = q 114 πε 0 q 2 r = q 1 φ 1,

здесь φ 1=14 πε 0 q 2 r - потенциал поля, создаваемого вторым зарядом, в точке, где находится первый заряд. Аналогично можно записать

U (r)=14 πε 0 q 1 q 2 r = q 214 πε 0 q 1 r = q 2 φ 2,

где φ 2=14 πε 0 q 1 r - потенциал поля, создаваемого первым зарядом, в точке, где находится второй заряд. Теперь, перепишем выражение (1), в симметричной форме, легко допускающей обобщение

U (r)=12(q 1 φ 1+ q 2 φ 2). (2)

В этой формуле мы выписали два равных слагаемых, каждое из которых можно трактовать как энергию взаимодействия одного из зарядов с другим, но мы подчеркивали, что энергия взаимодействия, не «принадлежит» ни одному из зарядов, поэтому нельзя учитывать эту энергию дважды – из-за этого и появляется в формуле множитель 1/2.

Если система состоит из нескольких зарядов q ₁, q ₂, …, q _N, то полная энергия их взаимодействия есть сумма энергий взаимодействий всех пар зарядов. Используя симметричное выражение (2), суммирование по парам зарядов (двойную сумму), можно заменить на суммирование по самим зарядам, то есть записать

U =∑ pairs 14 πε 0 qiqkrik =12(q 1 φ 1+ q 2 φ 2+…+ qNφN)=12∑ chargesqkφk. (3)

В этой формуле φ _k - потенциал поля в точке, где находится заряд q _k, причем поля, создаваемого всеми зарядами, кроме самого заряда q _k (как говорят, исключая самовоздействие заряда на самого себя).

Использование понятия энергии взаимодействия требует чрезвычайной точности и внимательности. Произвол в выборе нулевого уровня энергии, с одной стороны, предоставляет определенную свободу, а, с другой, требует четкого понимания о какой именно энергии идет речь. Так, если в формуле (3) потенциалы отсчитываются относительно точек, бесконечно удаленных от зарядов, то эта формула определяет работу, которую совершит электрическое поле при удалении всех зарядов на бесконечно большие расстояния друг от друга. Если же требуется рассчитать работу поля при изменении положения зарядов, то выбор нулевого уровня не принципиален – эта работа не зависит от нулевого уровня потенциала.

Для того чтобы разобраться в некоторых нюансах применения формулы (3), рассмотрим примеры расчета энергии электростатического взаимодействия.