Изучение коэффициентов корреляции Спирмена и Кэнделла. Пусть некоторые объекты обладают парой признаков каждый и гипотеза об их взаимосвязи не отвергается

Пусть некоторые объекты обладают парой признаков каждый и гипотеза об их взаимосвязи не отвергается. Если признаки оказались взаимосвязаны, исследователя интересует сила их связи. Для описания такой связи было предложено много различных коэффициентов, называемых мерами связи.

В порядковых (ординальных) шкалах реальным содержанием измерений является тот порядок, в котором выстраиваются объекты (по степени выраженности измеряемого признака) и вместо значений чисел рассматривают их ранги. Здесь проверка нулевой гипотезы ведётся методом Спирмена. Пусть признаков два и каждый из n объектов характеризуется парой чисел (x_i, y_j) - своими значениями признаков А и В. От чисел переходим к их рангам (r_i, s_j). Cчитаем, что среди чисел x_i и y_j нет повторяющихся. Если признаки взаимосвязаны, то порядок, в котором следуют числа x_i влияет на порядок, в котором следуют числа y_j. Чем более тесно связаны эти признаки, тем в большей степени последовательность r_i предопределяет последовательность s_j. Если же признаки такой связи не проявляют, то порядок среди игреков случаен по отношению к порядку среди иксов. В этом случае все n! перестановок чисел 1, 2,..., n, которые могут выступать как ранги, оказываются равновероятными при любом порядке чисел r_i. По предложению Спирмена, близость двух рядов рангов r_i и sj можно характеризовать статистикой:

Она принимает наименьшее возможное значение S = 0 тогда и только тогда, когда последовательности полностью совпадают. Наибольшее возможное значение величина S принимает, когда эти последовательности полностью противоположны. При этом искомая сумма есть сумма квадратов последовательных нечётных чисел:

S_max = (n - 1)² + [(n - 1) - 2)]² +… + 1² = (n³ - n)/3

Принято, что коэффициент корреляции должен изменяться от (-1) до 1. Поэтому нормированный и центрированный коэффициент связи Спирмена:

Крайние значения ±1 он принимает в случаях полной предсказуемости одной ранговой последовательности по другой. Значение S не зависит от первоначальной нумерации объектов. Поэтому обычно упорядочивают данные по одному из признаков. Последовательность рангов по этому признаку: 1, 2,..., n.

Другой коэффициент ранговой корреляции получил популярность после работ М. Кендэлла. В качестве меры сходства между двумя ранжировками, используется минимальное число перестановок соседних объектов, которые надо сделать, чтобы одно упорядочение объектов превратить в другое. Пусть один ряд упорядочен, а второй состоит из чисел s_j. Тогда K равно числу инверсий в последовательности {s_j}. Пусть, например, n = 4 и (s_j) = (4, 3, 1, 2). Инверсии (нарушения порядка) суть:

- первый элемент последовательности дает три инверсии: 4 прежде 3, 4 прежде 1, 4 прежде 2. - второй элемент дает три инверсии: 3 прежде 1, 3 прежде 2.

Всего инверсий в данном случае K = 5 = 3 + 2.

Наименьшее возможное значение K = 0, наибольшее K = n(n - 1)/2. Как и для S, эти значения получаются при полном совпадении и полной противоположности ранговых последовательностей. Коэффициент ранговой корреляции по Кендэллу:

Распределение обоих коэффициентов корреляции строится при нулевой гипотезе, когда все n! возможных значений расположений рангов {s_j} равновероятны. Составлены таблицы. Для небольших n эти таблицы точные, для других значений - приближенные. Если Н₀ верна, распределение коэффициентов симметрично и концентрируется около нуля тем сильнее, чем больше n. Если признаки зависимы, распределение вероятностей может быть иным. Поведение коэффициентов ранговой корреляции в этом случае легко проследить лишь для наиболее простого вида связи - монотонной (положительной или отрицательной). Для монотонной положительной связи значение одного признака тем больше, чем больше значение другого. При отрицательной - наоборот. Такая альтернатива независимости легко обнаруживается с помощью коэффициента ранговой корреляции, абсолютное значение которого в этом случае должно быть близко к единице. Если же зависимость между признаками более сложная, ее влияние на ранжировки может быть не столь простым. Поэтому с помощью коэффициентов ранговой корреляции далеко не всякую зависимость можно отличить от независимости. Все же появление в эксперименте больших (по модулю) наблюдаемых значений коэффициентов ранговой корреляции свидетельствует против гипотезы независимости в пользу связи между признаками (положительной либо отрицательной, смотря по знаку коэффициента). Для проверки Н₀ надо вычислить выборочное значение коэффициента ранговой корреляции и сравнить его с критическим значением для данного уровня значимости, которое следует извлечь из таблиц. Гипотезу Н₀ надо отвергнуть (на выбранном уровне значимости), если полученное в опыте значение коэффициента ранговой корреляции превосходит критическое (по модулю). При больших n и при Н₀ нормированные статистики распределены (приближенно) по стандартному нормальному закону:

Пример задания по теме Корреляционный анализ

Корреляционный анализ изучает стохастические связи между случайными величинами в экономике. Метод корреляции применяется для того, чтобы при сложном взаимодействии посторонних влияний выявить зависимость между результатом и факторами в том случае, если посторонние факторы не изменялись и не искажали основную зависимость. При этом число наблюдений должно быть достаточно велико, так как малое число наблюдений не позволяет обнаружить закономерность связи. Укрупненно можно рекомендовать: число наблюдений равно восьмикратному числу факторов, включенных в модель.

Задание:

1.) Построить корреляционное поле зависимости между y и x1. Сделать вывод относительно формы и направления связи.

2.) Построить уравнение регрессии между у и х1 (линейная, степенная, логарифмическая). Оценить каждую функцию через F-критерий, , ошибку аппроксимации.

3.) Построить корреляционное поле зависимости между y и x2. Сделать вывод относительно формы и направления связи.

4.) Построить двухфакторное уравнение регрессии между y, x1,x2. Оценить показатели тесноты связи.

5.) Оценить модель через F-критерий Фишера.

6.) Оценить параметры через t-критерий Стьюдента.

Исходные данные:

Уравнение регрессии между у и х1 (линейная):

F расч = (0,7451/(1-0,7451))*((25-1-1)/1) = 67,232

Уравнение регрессии между у и х1 (логарифмическая):

F расч = (0,4445/(1-0,4445))*((25-1-1)/1) = 18,404

Уравнение регрессии между у и х1 (степенная):

F расч = (0,4284/(1-0,4284))*((25-1-1)/1) = 0,019

Уравнение регрессии между у и х2 (линейная):

Уравнение регрессии между у и х2(логарифмическая):

Уравнение регрессии между у и х2(степенная):

С помощью пакета анализа

Линейный коэффициент корреляции может быть определен по формуле:

Или

.

Он изменяется в диапазоне от -1 до +1. положительный коэффициент характеризует прямую связь, отрицательный – обратную. Связь между факторным и результативным признаком можно признать тесной, если r>0,7.

Индекс корреляции может рассчитываться по формуле:

,

Индекс корреляции изменяется от 0 до 1.

оценка существенности связи на основе t – критерия Стьюдента (при оценке параметров) или F – критерия Фишера (при оценке уравнения регрессии).

для линейной формы связи,

для криволинейной формы связи,

где k – число параметров.

Нахождение аппроксимирующего уравнения, для чего определяется средняя ошибка аппроксимации

.

F -критерия Фишера: