Обобщенная постановка задачи нелинейного программирования

Если нелин ф-я, то из мат-ки известны необход и достат усл сущ ее экстремума. В одномерном случае имеем:

-если x* - arg max f(x): необ f’(x*)=0, дост условия f”(x*)<0

-если x* - arg min f(x): необ f’(x*)=0, дост условия f”(x*)>0

В многомерном случае имеем: Max grad =0

Метод дихотомии.

На каждом шаге итерационного процесса использ следующие соотношения:

x₁⁽ⁿ⁾ = (aⁿ+bⁿ⁾/2- /2 x₂⁽ⁿ⁾ = (aⁿ+bⁿ⁾/2+ /2

Возможны след варианты:

- f(x₁⁽ⁿ⁾)>f(x₂⁽ⁿ⁾) -> a_n+1= x₁⁽ⁿ⁾ ; b_n+1=b_n

- f(x₁⁽ⁿ⁾)< f(x₂⁽ⁿ⁾) -> a_n+1= a_n ; b_n+1=x₂⁽ⁿ⁾

- f(x₁⁽ⁿ)⁾= f(x₂⁽ⁿ⁾) -> a_n+1= x₁⁽ⁿ⁾ ; b_n+1= x₂⁽ⁿ⁾

Метод золотого сечения.

Более эффективный метод, и самый распространенный.Считается, что отрезок поделен по методу золотого сечения, если: l2 / l = l1 / l2; если l=1, то l1= 0.382, l2=0.618. Общая процедура метода сводится к след формулам:

x₁⁽ⁿ⁾ =an+0.382(bn-an)

x₂⁽ⁿ⁾ =bn-0.382(bn-an)

Возможны след варианты:

- f(x₁⁽ⁿ⁾)>f(x₂⁽ⁿ⁾) -> a_n+1= x₁⁽ⁿ⁾ ; b_n+1=b_n

- f(x₁⁽ⁿ⁾)< f(x₂⁽ⁿ⁾) -> a_n+1= a_n ; b_n+1=x₂⁽ⁿ⁾

- f(x₁⁽ⁿ)⁾= f(x₂⁽ⁿ⁾) -> a_n+1= x₁⁽ⁿ⁾ ; b_n+1= x₂⁽ⁿ⁾