Одношаговый метод

В основе всех одношаговых методов лежит разложение ф-ций в ряд Тейлора:

, в котором сохраняются члены до установленного порядка. Если сохраняется член вида , то говорят, что метод имеет порядок n, а погрешность метода пропорциональна hⁿ⁺¹. Для нахождения следующей точки y(x^k+1) требуется информация только об одной предыдущей точке y(x^k) – способность самостартования.

Простейшим представителем одношаговых методов является метод Эйлера.

y(x+h)=y(x)+hy’(x)+O(h²)

В результате имеем общую формулу метода Эйлера: y(x₀)=y₀, k=0,1,2,…

Несомненное преимущество метода Эйлера – простота реализации. Существенный недостаток – крайне низка точность, которую, однако, можно заранее оценить.(с каждым шагом глобальная погрешность увеличивается)

Как правило, для повышения точности осуществляют решение с шагом h, с шагом h/2 и т.д. В этом случае процедуру называют самоконтролирующей или с автоматическим выбором шага.

Все остальные одношаговые методы базируются на идее Эйлера, но для значительного повышения точности используются дополнительные точки.

Модифицированный метод Эйлера:

3)tg α₁=f(x₁,y₁)

4) tg α_ср= (tg α_0- tg α₁)/2

5)y=y₀+ tg α_ср(x-x₀)

6)x=x₁ след. y₁^ср; 7)x₁,y₁^ср

Точка по модиф. мет. Эйлера гораздо ближе к искомой, чем точка по обычному мет. Эйлера.

Классическим считается метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности.

y_n+1=y_n+1/6(k₀+2k₁+2k₂+k₃)

k₀=hf(x_n;y_n)

k₁=hf(x_n+1/2h;y_n+1/2k₀)

k₂=hf(x_n+1/2h;y_n+1/2k₁)

k₃=hf(x_n+1/2h;y_n+k₂)

δ= |y_n(h)-y_n(h/2)|/15

Ошибка пропорциональна O(h⁵).

Этот метод сочетает простоту реализации с достаточной