Математическое моделирование: понятие, сущность, критерии

Под моделированием понимают процесс построения моделей, с помощью которых изучают функционирование (поведение) объектов различной природы.

В самом общем смысле модель - это условный образ, схема объекта исследования. Понятие "модели" связано с наличием сходства между двумя объектами, один из которых может рассматриваться как оригинал, а другой - как его модель. Степень соответствия модели объекту моделирования может быть различной.

Математическое моделирование универсальный и эффективный инструмент познания внутренних закономерностей, присущих явлениям и процессам. Математическое моделирование позволяет изучить количественные взаимосвязи и взаимозависимости моделируемой системы и совершенствовать ее дальнейшее развитие и функционирование. Но для того, чтобы моделирование стало действенным инструментом познания, необходимо правильно построить математическую модель, адекватную изучаемой системе. Математическая модель представляет собой систему математических формул, неравенств или уравнений, с большей или меньшей точностью описывающих явления и процессы, происходящие в оригинале. Экономические процессы и явления исследуются с помощью экономико-математических моделей, введенных в практику экономических исследований в нашей стране академиком В.С. Немчиновым.

Сущность экономико-математической модели в сжатой и емкой форме выразил Макаров С. И.: "Экономико-экономическая модель представляет собой концентрированное выражение общих взаимосвязей и закономерностей экономического явления в математической форме" [14, c. 240].

Среди различных систем наиболее сложными являются экономические, правильно описать которые можно лишь в том случае, если достаточно подробно, хорошо познаны количественные связи между отдельными факторами и степень их влияния друг на друга и на конечные результаты производств. Поэтому модель должна с большей или меньшей точностью отражать реальные процессы и взаимосвязи экономической системы и ограничения, накладываемые на нее внешними условиями. Модель должна опираться на достоверную информацию. Однако не одна, даже сложная и большая модель не может до мельчайших подробностей отразить все стороны моделируемой системы.

Таким образом, искусство моделирования состоит в том, чтобы, глубоко изучив и поняв качественную природу явления, суметь отразить ее в математической количественной форме, сохранив основные черты явления и отбросив несущественное [18, с. 248].

Процесс экономико-математического моделирования можно условно разделить на ряд отдельных, но взаимосвязанных этапов:

· постановка задачи и обоснование критерия оптимальности;

· разработка структурной математической модели;

· сбор и обработка исходной информации;

· построение развернутой матрицы задачи (числовой модели);

· решение задачи на ЭВМ, анализ и корректировка его.

Если проанализировать производство какого-либо определенного вида продукции, то, как правило, выявится возможность получения этого продукта несколькими технологическими способами с применением различных взаимозаменяемых средств производства. Продукция может

выпускаться в различные периоды времени, а произведенная продукция может доставляться потребителям не одним, а несколькими видами транспорта, причем сам маршрут доставки также не является единственно возможным.

Более глубокий анализ обнаруживает, что и одноименные ресурсы и средства производства не являются вполне однородными, а отличаются теми или иными особенностями. Так, теплотворная способность и иные свойства угля зависят от бассейна, где он добывался; плодородие различных участков земли даже в пределах одного хозяйства — от месторасположения этих участков, свойств почвы, близости водоемов и пр. Таким образом, если на первый взгляд для каждого продукта имеется вполне определенный способ получения и затрачиваются вполне определенные ресурсы, то в действительности существует множество возможных вариантов решения производственных вопросов, начиная от выбора сырья до перевозки готовой продукции, и на практике всегда приходится выбирать одни варианты и отбрасывать другие.

Естественно, что различные варианты плана требуют неодинаковых затрат и приносят в конечном счете неодинаковый экономический эффект. Если затраты и результаты производства по всем вариантам могут быть точно подсчитаны и сопоставлены, то следует, конечно, отобрать более эффективные варианты и отбросить менее эффективные. Окончательно эта задача суживается до выявления единственного варианта, который в данных условиях эффективнее всех остальных. Если определены ресурсы, которыми мы располагаем, то самым эффективным будет вариант, дающий при этих ресурсах наиболее высокий производственный результат (например, наибольший выпуск в натуральном или стоимостном выражении); если же заранее задан результат производства (например, объем выпуска продукции), то наиболее эффективным считается вариант, требующий наименьших затрат средств или ресурсов для достижения этого результата. Самый эффективный вариант называется оптимальным вариантом. Таким образом, оптимальным является план, обеспечивающий заданный производственный результат при минимальных затратах или максимальный производственный эффект при заданном объеме ресурсов.

Выявление оптимального плана представляет собой, как правило, довольно сложную задачу. Дело в том, что количество возможных вариантов плана обычно весьма велико и отыскание наиболее эффективного из них путем простого их сравнения может потребовать колоссальных затрат времени и труда, во много раз превышающих величину самого эффекта, получаемого за счет оптимального планирования. Поэтому в практике планирования приходится останавливаться лишь на более или менее удачных вариантах плана, не зная даже, насколько они далеки от оптимальных. С другой стороны, в условиях мощного высокоразвитого современного производства неоптимальность плановых решений грозит все более ощутимыми потерями и ущербом.

Если принятый фактически вариант плана требует хотя бы на один процент меньше продукции, чем обеспечил бы при тех же условиях оптимальный вариант, то в абсолютном выражении потерянный при этом эффект измеряется зачастую многими миллионами рублей. Значит, оптимальное планирование — сложная экономическая проблема. До постановки математической задачи необходимо решить ряд экономико-математических проблем, к которым можно отнести: выбор критерия эффективности плана, масштабы и степень детализации построения модели, очередность решения и использование результатов решения, экономико-математических моделей для различных звеньев народного хозяйства и экономических проблем, взаимосвязь и взаимозависимость этих моделей и др.

Постановка задачи и обоснование критерия оптимальности. На этом этапе требуется, прежде всего, четкая формулировка задач, раскрывающая известные и не известные параметры и цель задачи. Постановка задачи должна свидетельствовать о хорошем знании объекта моделирования.

Критерий оптимальности должен, как правило, соответствовать основной цели экономической системы. Однако путем формулировки одного критерия оптимальности это не всегда возможно. Поэтому в задачу вводят дополнительные ограничения или решают ее последовательно на несколько критериев оптимальности, а затем с помощью сравнительного анализа полученных вариантов решений выбирают тот, который наилучшим образом отвечает поставленным целям [24, с. 325].

Оптимизация – это выбор наилучшего варианта из множества возможных. Если критерий выбора известен и вариантов не много, то решение может быть найдено путем перебора и сравнения всех вариантов. Однако часто бывает так, что число возможных вариантов на столько велико, что полный перебор практически не возможен. В таких случаях приходится формулировать задачу на языке математики и применять специальные методы поиска оптимального решения, то есть методы оптимизации.

Все задачи оптимизации делятся на два больших класса: задачи математического программирования и задачи оптимально управления. Первые Различие между этими классами задач состоит в том, что в задаче математического программирования необходимо найти оптимальное число, а в задаче оптимального управления – оптимальную функцию. С формально-математической точки зрения, это различие существенное, но в прикладном плане оно зачастую оказывается весьма условным [16, с. 397].

В качестве критерия оптимальности при оптимизации производственно-отраслевой структуры сельскохозяйственного предприятия могут использоваться следующие показатели:

максимизируемые (при заданных объемах производственных ресурсов) - валовая продукция, товарная продукция, валовой доход, чистый доход, прибыль, уровень рентабельности;

минимизируемые (при заданных объемах производства продукции) - материально-денежные затраты, затраты живого или совокупного труда, приведенные затраты и другие.

Основные переменные данной модели отражают состав и размеры отраслей и видов деятельности предприятия с выделением интенсивных технологий, дифференциацией по направлениям использования продукции (на товарные и фуражные цели), степени интенсивности и трудоемкости производства (крупный рогатый окот при стойловом содержании, в пастбищный период, при выгульном содержании), срокам реализации (после сбора урожая или после осенне-зимнего хранения) и другим признакам.

Помимо основных в модель вводятся вспомогательные переменные с целью оптимизации кормовых рационов, определения дополнительно привлекаемых ресурсов, а также объемов некоторых ресурсов, стоимостных показателей [11, с. 167].

Вспомогательные переменные, предназначенные для оптимизации кормовых рационов, показывают добавку корма к минимально необходимой норме и дифференцируются по группам кормов и видам животных, для которых предусматривается оптимизация.

В модели могут предусматриваться и строго фиксированные нормы расхода кормов. Например, в хозяйстве имеется крупный рогатый скот и незначительное поголовье лошадей. Для молочного стада и молодняка крупного рогатого окота рационы целесообразно оптимизировать, а для лошадей можно ввести фиксированные нормы. Единица измерения - ц корм. ед.

Решение задачи оптимизации производственно-отраслевой структуры в целом и анализ полученного оптимального решения позволяет выявить недоиспользуемые в хозяйстве ресурсы, определить направление их эффективного использования, осуществить оптимизацию кормопроизводства и структуру посевных площадей, определить структурные сдвиги и перспективы развития предприятия [3, с. 77].