Энергия взаимодействия точечных зарядов

Энергия электрического поля. Плотность энергии электрического поля.

Энергия взаимодействия точечных зарядов.

 Вернемся к обсуждению вопроса об энергии взаимодействия электрических зарядов. Ранее мы показали, что потенциальная энергия электростатического взаимодействия двух точечных зарядов q₁ и q₂, находящихся на расстоянии r друг от друга (рис. 340),

рис. 340

рассчитывается по формуле

Придадим этой формуле несколько иной вид

здесь

потенциал поля, создаваемого вторым зарядом, в точке, где находится первый заряд. Аналогично можно записать

где

потенциал поля, создаваемого первым зарядом, в точке, где находится второй заряд. Теперь перепишем выражение (1) в симметричной форме, легко допускающей обобщение

 В этой формуле мы выписали два равных слагаемых, каждое из которых можно трактовать как энергию взаимодействия одного из зарядов с другим, но мы подчеркивали, что энергия взаимодействия не «принадлежит» ни одному из зарядов, поэтому нельзя учитывать эту энергию дважды − из-за этого и появляется в формуле множитель 1/2.
 Если система состоит из нескольких зарядов q₁, q₂, … q_k, … q_N (k = 1, 2, … N), то полная энергия их взаимодействия есть сумма энергий взаимодействий всех пар зарядов. Используя симметричное выражение (2), суммирование по парам зарядов (двойную сумму) можно заменить на суммирование по самим зарядам, то есть записать

 В этой формуле (φ_k − потенциал поля в точке, где находится заряд q_k, причем поля, создаваемого всеми зарядами, кроме самого заряда q_k (как говорят, исключая самовоздействие заряда на самого себя).
 Использование понятия энергии взаимодействия требует чрезвычайной точности и внимательности. Произвол в выборе нулевого уровня энергии, с одной стороны, предоставляет определенную свободу, а, с другой, требует четкого понимания: о какой именно энергии идет речь. Так, если в формуле (3) потенциалы отсчитываются относительно точек, бесконечно удаленных от зарядов, то эта формула определяет работу, которую совершит электрическое поле при удалении всех зарядов на бесконечно большие расстояния друг от друга. Если же требуется рассчитать работу поля при изменении положения зарядов, то выбор нулевого уровня не принципиален − эта работа не зависит от нулевого уровня потенциала.
Для того чтобы разобраться в некоторых нюансах применения формулы (3), рассмотрим пример расчета энергии электростатического взаимодействия.
 Пусть три одинаковых точечных заряда, величины которых равны между собой q₁ = q₂ = q₃ = q, расположены в вершинах правильного треугольника со стороной а (рис. 341).

рис. 341

 Для расчета энергии взаимодействия этих зарядов заметим, что все заряды равноправны, находятся в одинаковых условиях. В месте расположения одного из зарядов потенциал поля, создаваемого двумя другими зарядами равен

 В соответствии с формулой (3) энергия взаимодействия зарядов равна

 Такую работу совершит электрическое поле при удалении всех зарядов на бесконечное расстояние друг от друга.
 Если заряды сместятся, так что окажутся в вершинах правильного треугольника со стороной а₁ (рис. 342),

рис. 342

то их энергия окажется равной

 При таком смещении работа электрического поля будет равна уменьшению энергии системы

 Обратите внимание, при а₁ → ∞ эта работа становится в точности равной начальной энергии U_o.
 Если из первоначальной системы мы удалим один заряд при неподвижных оставшихся (рис. 343),

рис. 343

то энергия системы станет равной

при этом поле совершит работу

 Если теперь удалить еще один заряд, то энергия системы станет равной нулю, при этом поле совершит работу А₂ = U₁. В итоге начальная энергия полностью расходуется на совершение полной работы U_o = A₁ + A₂.