Метод математических моделей

Если попытаться одной фразой ответить на вопрос: ”Каким образом современная математика применяется к изучению физических, астрономических, биологических, экономических, гуманитарных и других явлений?”, то ответ будет таким: ”С помощью построения и анализа математических моделей изучаемого явления”. Что же такое математическая модель?

Под математической моделью понимают систему математических соотношений — формул, уравнений неравенств и т.д., отражающих существенные свойства объекта или процесса.

При построении математических моделей далеко не всегда удается найти формулы, явно выражающие искомые величины через исходные данные. В таких случаях используются математические модели, позволяющие дать ответы той или иной степени точности.

Изучение явлений с помощью математических моделей называется математическим моделированием. Схематически процесс математического моделирования представлен в следующей таблице:

Явление внешнего мира

Его приближенное описание. Запись основных свойств и соотношений между ними на математическом языке, формулировка основных математических задач

Решение математических задач, исследование решений

Выводы, новые свойства изучаемого явления, прогнозы, сравнение с известными результатами

Уточнение модели

Хорошо построенная математическая модель обладает удивительным свойством: ее изучение дает новые, неизвестные ранее знания об изученном объекте или явлении.

П р и м е р 1. В 1846 г. Французский астроном У.Ж.Ж.Леверье (1811-1877) открыл новую планету Солнечной системы и назвал ее Нептуном. Открытие этой планеты было сделано чисто математически, путем вычислений, так сказать, “на кончике пера”. Анализируя созданную И.Кеплером и И.Ньютоном модель движения планет Солнечной системы, ученые обнаружили, что фактическая траектория движения планеты Уран отклонялась от теоретически вычисляемого движения. Ж.Леверье предположил, что ”возмутителем порядка” является неизвестная планета, которая воздействует на планету Уран. Пользуясь моделью Солнечной системы, он определил массу и закон движения новой планеты, так что все противоречия и движения планеты Уран были сняты.

Немецкий астроном И.Г.Галле в 1846 г. наблюдал новую планету в точно указанном Леверье месте.

Аналогичным методом, благодаря использованию расхождения теоретически вычисленной траектории Нептуна с наблюдаемой, в 1930 г. была открыта еще одна планета Солнечной системы, названная Плутоном.

П р и м е р 2. Знаменитый английский физик Дж. К. Максвелл (1831 - 1879), изучая построенную им математическую модель классической электродинамики, из анализа уравнений модели предсказал существование электромагнитных волн, которые позднее были экспериментально обнаружены немецким физиком Г.Р.Герцем (1857 - 1894).

Математические модели, с помощью которых исследование явлений внешнего мира сводится к решению математических задач, занимают ведущее место среди других методов исследования и позволяют не только объяснить наблюдаемые явления, как это было, например, с движением планеты Уран, но и заглянуть туда, где еще в принципе не могло быть опытных, экспериментальных данных. Именно так было при проведении первых атомных и водородных взрывов. И это еще не все. Существуют сферы человеческой деятельности, где проведение экспериментов, получение экспериментальных результатов принципиально не возможны!

Например, невозможно экспериментировать над озоновым слоем Земли. Невозможно определить меру антропогенного воздействия на ноосферу, достаточную для ее разрушения, — неизвестно, найдется ли в этом случае на Земле место для человечества.

Развитие математического аппарата и внедрение мощных современных компьютеров позволили математическому моделированию, успешно зарекомендовавшему себя в технике, физике, астрономии и космологии, проникнуть сегодня практически во все области человеческой деятельности — в экономику и биологию, экологию и лингвистику, медицину и психологию, историю, социологию и т.д. По мере усложнения объектов исследования, роль математических моделей изучаемых явлений существенно возрастает. Появляется целая иерархия математических моделей, каждая из которых описывает изучаемое явление глубже, полнее, всестороннее.