Пример 3.5

Тонкое кольцо радиуса R равномерно заряжено зарядом q. Найдите потенциал электрического поля на оси кольца на расстоянии х от его центра. Воспользовавшись найденной зависимостью , определите напряженность электрического поля на оси кольца. Постройте графики зависимостей потенциала и модуля напряженности электрического поля от координаты х.

Решение.

Электростатическое поле создано зарядом, распределенным по тонкому кольцу заданного радиуса. Для расчета напряженности и потенциала поля будем использовать принцип суперпозиции. Разобьем кольцо на элементарные участки. Каждый участок можно рассматривать как точечный заряд , потенциал создаваемого им поля , где r – расстояние от элемента то точки С (рис.8).

Рис.8

Потенциал результирующего поля получим, проинтегрировав последнее выражение:

.

Из рисунка видно, что . Потенциал электрического поля на оси кольца на расстоянии х от его центра равен:

.

Величина - представляет суммарный заряд кольца. Следовательно, в точках, лежащих на оси кольца, потенциал равен:

.

Воспользовавшись полученной формулой, определим напряженность электрического поля на оси кольца. С учетом симметрии распределения заряда кольца, вектор напряженности в точках оси направлен вдоль самой оси. Проекция вектора напряженности на ось X определится соотношением:

.

Напряженность поля в центре кольца найдем, подставив в полученную формулу x=0:

,

что совпадает с результатом, полученным при решении примеров 1.5 и 1.8, в которых напряженность поля кольца в центре и на его оси была найдена с помощью принципа суперпозиции полей.

Рис.9