При изменении курса

Пусть отношение скоростей m = const, а z изменяется в пределах от 0 до ± 180º. Выражение (1.9) в этом случае будет иметь вид:

Но, в работе Аполлония (III в. до н.э.) о конических сечениях было установлено, что [Мод[КВВ5] ] уравнением линии, отношение расстояний каждой точки которой до двух данных различных точек равно одному и тому же числу, для всех точек линии, является уравнение окружности.

Окружность, определяемую таким свойством, называют иногда окружностью Аполлония. Тогда, принимая во внимание (2.8), определим параметры этой окружности:

При значениях zÎ(0 ± 180°) полюса маневрирования расположены на окружности симметричной относительно линии пеленга.

Центр окружности находится на продолжении линии пеленга и смещен относительно позиции тихоходного корабля в противоположную от быстроходного корабля сторону.

Радиус окружности зависит от соотношения скоростей и расстояния между кораблями. При m = 1 окружность превращается в прямую линию перпендикулярную линии пеленга.

Действительно, обозначая С = D/V_r с учетом (1.12) получим:

r_М =СV_М r_К =СV_К

т.к. то, освобождаясь от знаменателя и приводя подобные члены, будем иметь:

Выражение (4.3) представляет собой уравнение окружности в декартовых координатах. Найдем точки пересечения этой окружности с линией пеленга. Поскольку в этом случае y = 0, то (4.3) примет вид:

Следовательно:

тогда радиус окружности:

А центр окружности будет смещен от начала координат (позиции тихоходного корабля) на величину:

Знак (-) в выражении (4.7) показывает, что смещение происходит в направлении противоположном пеленгу на объект маневра.

График изменения радиуса окружности полюсов R и смещения центра окружности S_Ц в зависимости от величины m приведен на рис. 9.

Семейство окружностей полюсов для различных значений m, полученных при изменении z Î[0, 180] изображено на рис. 10

Рис.9

Свойства окружности полюсов при z Î [0,180]

Центр окружностей полюсов лежит на продолжении линии пеленга.

Место тихоходного корабля находится внутри окружности полюсов, причем, при V_М > V_К

(m² – 1) < 0 и

При равенстве скоростей (m=1) радиус окружности и смещение её центра R=∞ и S=∞ и окружность превращается в линию перпендикулярную начальному пеленгу и проходящую на расстоянии от маневрирующих кораблей.

Окружности полюсов для m и m^-1 симметричны относительно линии полюсов для m = 1.

Полюса маневрирования соответствующие разности курсов zÎ(0 +180°) расположены на половине окружности и симметричны относительно линии пеленга, полюсам соответствующим разности курсов z Î(0 -180°).

Рис.10