Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как противостоять манипуляциям мужчин? Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Примеры решения задач. Предлагается несколько простых примеров решения задач





Предлагается несколько простых примеров решения задач. Следует помнить, что частота, интенсивность от­казов и параметр потока отказов, вычисленные по фор­мулам (14.35), (14.6) и (14.13), являются постоянными в диа­пазоне интервала времени ∆t, а функции , ), —ступенчатыми кривыми или гистограммами. Для удобства изложения в дальнейшем при решении задач на определение частоты, интенсивности и параметра потока отказов по статистическим данным об отказах изделий ответы относятся к середине интервала ∆t. При этом ре­зультаты вычислений графически представляются не в виде гистограмм, а в виде точек, отнесенных к середи­не интервалов ∆ti и соединенных плавной кривой.


 

Пример.1

Допустим, что на испытание поставлено 1000 однотипных электронных ламп. За 3000 ч отказало 80 ламп, требуется определить вероятность безотказной работы P(t) и вероятность отказа Q(t) в течение 3000 ч.

 

Дано:   N = 1000 шт ∆t = 3000 ч n = 80 шт   Решение:   P(t) = ; P(t) = = 0,92; Q(3000) = 1 – P(3000) = 0,08 или Q(3000) = = = 0,08
Найти: P(t) , Q(t)  

 

Пример 2

Допустим, что на испытание поставлено 1000 однотипных электронных ламп. За первые 3000 ч отказало 80 ламп, а за интервал времени 3000-4000 ч отказало еще 50 ламп. Требуется определить частоту f(∆t) и интенсивность λ(∆t) отказов электронных ламп в промежутке времени ∆t = 3000 … 4000 ч.

 

Дано:   N = 1000 шт. ∆t1 = 3000 ч n1 = 80 шт. ∆t2 = [3000,4000] n2 = 50 шт.   Решение:   f(∆t2 ) = f(∆t2 ) = = 5•10-5 ч-1; λ(∆t2 ) = ;   Nср = ;   Nраб1 = 1000 – 80 = 920 шт;   Nраб2 = 1000 – 130 = 870 шт   Nср = = 895; λ(∆t2 ) = = 5,58 •10-5 ч-1;
  Найти: a(∆t2 ), λ(∆t2)  

 

Пример 3

На испытание поставлено N 0 =400 изделий. За время t= 3000 ч отказало n(t) =200 изделий, за интервал ∆t = 100 ч отказало n(∆t)=100 изделий. Требуется определить вероятность безотказной работы за 3000 ч, вероятность безотказной работы за 3100 ч, вероятность безотказной работы за 3050 ч, частоту отказов f(3050), интенсивность отказа λ(3050).

Временной график

]

 

       
 
   
 


Дано: N = 400 шт. t = 3000 ч n = 200 шт. ∆t = 100 ч n(∆t) = 100 шт.   Найти:   Р(3000), Р(3050), Р(3100), f(3050), λ(3050).   Решение: Вероятность безотказной работы будем искать по формуле: P(t) = ; Р(3100) = = 0,25; Для t =3000 ч (начало интервала) Р(3000) = = = 0,5; Для t =3100 ч (конец интервала) Р(3100) = = = 0,25; Среднее время исправно работающих изделий в интервале ∆t: . Число отказавших за время t=3050 ч n(3050) = N 0 - N ср= 400 – 150 =250, тогда Р(3050) = = 0,375; Определяется частота отказа: f(3050) = ; f(3050) = = 0,0025 = 2,5٠10 -2; ч-1. Так же определяется частота отказов за интервалы 3000 ч и 3100 ч, причем началом интервалов является t = 0. f(3000) = = 0,000167 = 1,67٠10 -4 ч-1; f(3100) = = 0,00024 = 2,4٠10 -4 ч-1. Определяется интенсивность отказов: а) в интервале ∆t =3050 ч λ(3050) = ; λ(3050) = = 0,0067 ч-1; б) в интервале ∆t =3000 ч Nср (3000) = 400 – 100 = 300 шт; λ(3000) = = 0,000222 =2,22٠10 -4 ч-1; в) в интервале ∆t =3100 ч Nср (3100) = 400 – 150 = 250 шт; λ(3100) = = 0,00039 ч-1.
 

 

Пример 5

В течение некоторого периода времени производилось наблюдение за работой одного объекта. За весь периодов зарегистрировано n= 15 отказов. До начала наблюдений объект проработал 258 ч, к концу наблюдения наработка составила 1233 ч. Определить среднюю наработку на отказ tср.

Дано:   n = 15 t1 = 258 ч t2 = 1233 ч   Решение: Наработка за указанный период составила ∆t = t1 – t2 = 1233 – 258 = 975 ч; Наработка на отказ по статистическим данным определяется по формуле: tср = /n, где ti - время исправной работы между (i -1) и i отказами, n – число отказов за некоторое время t. Приняв = 975 ч, можно определить среднюю наработку на отказ tср = = 65 ч.
  Найти: tср

 

Пример 6

Производилось наблюдение за работой трех однотипных объектов. За период наблюдения было зафиксировано по первому объекту 6 отказов, по второму - 11 отказов, третьему - 8 отказов. Наработка первого объекта t1 = 6181 ч, второго

t2 = 329 ч, третьего t3 = 245 ч. Определить наработку объектов на отказ.

Дано: N = 3 n1 = 6 n2 = 11 n3 = 8 t1 = 181 ч t2 = 329 ч t3 = 245 ч Решение: 1 вариант решени:. tср= / ni; tср =; tср = = 30,2 ч 2 вариант решения: tср 1 = , tср 2 = , tср 3= ; tср 1 = , tср 2 = , tср 3= ; tср 1= = 30,2 ч; tср 2= = 29,9 ч; tср 3= = 3,6 ч; tср= (30,2 + 29,9 + 30,6)/3 = 30,2 ч.  
Найти: tср  

Как видно, у задачи есть два способа решения. Первый основан на использовании общей формулы вычисления средней наработки. Во втором варианте решения применяется более детальный способ. Сначала находится средняя наработка для каждого элемента, а среднее значение этих чисел и есть то, что определяется.

 

Пример 7

Система состоит из 5 приборов, причем отказ любого одного из них ведет к отказу системы. Известно, что первый отказал 34 раза в течение 952 ч работы, второй – 24 раза в течение 960 ч работы, а остальные приборы в течение 210 ч работы отказала 4, 6 и 5 раз соответственно. Требуется определить наработку на отказ системы в целом, если справедлив экспоненциальный закон надежности для каждого из пяти приборов.

Дано: N = 5 n1 = 34 n2 = 24 n3 = 4 n4 = 6 n5 = 5 t1 = 952 ч t2 = 960 ч t3-5 = 210 ч   Решение: Используются следующие соотношения: λс = ; tcp = ; Определяется интенсивность отказов для каждого прибора (N = 1): λi = , где Nср- среднее число исправно работающих изделий в интервале ∆t. λ1 = = 0,04 ч -1; λ2 = = 0,025 ч-1; λ3 = = 0,02 ч -1; λ4 = = 0,03 ч -1; λ5 = = 0,02 ч-1; или = = 0,07 ч-1; тогда интенсивность отказов системы будет λс = = λ1 + λ2 + λ3-5 = 0,04 + 0,025 + 0,07 = 0,135 ч-1; Средняя наработка на отказ системы равна tcp = = = 7,41 ч.
Найти: tср  

 

Пример 8

За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре было зафиксировано 8 отказов. Время восстановления составило: t1 = 12 мин, t2 = 23 мин, t3 = 15 мин, t4 = 9 мин,

t5 = 17 мин, t6 = 28 мин, t7 = 25 мин, t8 = 31 мин.

Требуется определить среднее время восстановления аппаратуры.

 

Дано: n = 8 отказов t1 = 12 мин t2 = 23 мин t3 = 15 мин t4 = 9 мин t5 = 17 мин t6 = 28 мин t7 = 25 мин t8 = 31 мин   Решение: tср в = ; tср в = = 20 мин.
Найти: tср в

 

 

Пример 9

Аппаратура имела среднюю наработку на отказ tcp = 65 ч и среднее время восстановления tв = 1,25 ч. Требуется определить коэффициент готовности Кг.

Дано: tcp = 65 ч tв= 1,25 ч   Решение: Кг = ; Кг = = 0,98.  
Найти: Кг

 

Пример 10

Пусть время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному закону λ = 2,5 ٠10-5 ч-1. Требуется определить вероятность безотказной работы P(t), частоту отказов f(t) и среднюю наработку на отказ tср, если t = 500, 1000, 2000 ч.

 

Дано: λ = 2,5 ٠10 -5 ч -1 t1 = 500 ч t2 = 1000 ч t3 = 2000 ч Решение: Р(t) = e-λt; Р(t1) = e-2.5٠0.00001•500 = 0,98; Р(t2) = e-2.5٠0.00001•1000 = 0,97; Р(t3) = e-2.5٠0.00001•2000 = 0,95; f(t) = λ٠P(t); f(t1) = 2,5٠10-5٠0.98 = 2.45٠10-5 ч -1; f(t2) = λ٠P(t2) = 2,5٠10-5٠0.97 = 2.425٠10-5 ч -1; f(t3) = λ٠P(t3) = 2,5٠10-5٠0.95 = 2.375٠10-5 ч -1; tср = ; tср = = 4٠10 4 ч.
Найти: P(t), f(t), tср  

 

Пример 11

Время работы изделия до отказа подчиняется закону Рэлея. Требуется определить количественные характеристики: P(t), f(t), λ(t), tср, при t1 = 500 ч, t2 = 1000 ч, t3 = 2000 ч. Если параметр распределения σ = 1000 ч.

 

Дано: t1 = 500 ч t2 = 1000 ч t3 = 2000 ч σ = 1000 ч   Решение: f(t) = ; f(500) = = 4٠10-4 ч-1; f(1000) = = 6,1٠10-4 ч-1; f(2000) = = 2,7٠10-4 ч-1; Р(t) = = ; Р(500) = = 0,88; Р(1000) = = 0,61; Р(2000) = = 0,14 λ(t) = ; λ(500) = = 4,5•10-4 ч-1; λ(1000) = = 10٠10-4 ч-1; λ(2000) = = 19,3٠10-4 ч-1; tср = ; tср(500) = = 2,2٠103 ч; tср(1000) = = 103 ч; tср(2000) = = 0,05٠103 ч.
Найти: P(t), f(t), λ(t), tср,    

Пример 12.

Время безотказной работы гироскопического устройства с шарикоподшипниками в осях ротора гироскопа подчиняется закону Вейбулла - Гнеденко с параметрами k = 1,5, λо = 10-4 ч-1, а время его работы t = 100 ч. Требуется вычислить количественные характеристики надежности такого устройства.

Решение.

k = 1,5 Используются формулы закона Вейбулла - Гнеденко для

λо = 10-4 ч-1. определения количественных характеристик:

t = 100 ч. Определяется вероятность безотказной работы:

Р(t) = .

Р(100) =

Найти:Р(t), f(t) Частота отказов определяется по формуле:

λ(t), tср f(t) =

Тогда

f(100) = ч-1

Интенсивность отказов определяется по формуле:

λ(t) = .

λ(100) = ч-1

Вычисляется средняя наработка до первого отказа:

tср =

Сначала вычисляют значение гамма-функции, воспользовавшись справочными данными ([54], таблица П.7.18). В данном случае х = (1/k)+1 = (1/1,5)+1 = 1,67.

Значения гамма-функции

х Г (х)
1,67 0,90330

 

Полученные данные подставляются в формулу [54]:

tср = ч

Пример 13.

Известно, что интенсивность отказов λ = 0,02 ч-1, а среднее время восстановления tВ = 10 ч. Требуется вычислить коэффициент готовности изделия.

Решение.

 

tВ = 10 ч. Коэффициент готовности изделия определяется по

λ = 0,02 ч-1. формуле:

КГ =

Найти: КГ Средняя наработка до первого отказа равна:

,

Тогда:

КГ =

КГ =

Пример 14.

Система состоит из 12600 элементов, средняя интенсивность отказов которых λ ср = 0,32٠10-6 ч-1.

Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение t = 50 ч.

Решение.

N = 12600 Интенсивность отказов системы определим по фор-

λ ср = 0,32*10-6 ч-1. муле:

t = 50 ч. λ с = λ ср N=0,32٠10-6٠12600=4,032٠10-3 ч-1

Вероятность безотказной работы по экспоненциальному

Найти: P(t) закону равна:

P(50) = есt =

Пример 15.

Система состоит из N = 5 блоков. Надежность блоков характеризуется вероятностью безотказной работы в течение времени t, которая равна: p1(t) = 0,98; p2(t) = 0,99; p3(t) = 0,97; p4(t) = 0,985; p5(t) = 0,975.

Требуется определить вероятность безотказной работы системы.

Решение.

N = 5 Воспользуемся формулой для определения безотказной ра-

p1(t) = 0,98 боты системы:

p2(t) = 0,99

p3(t) = 0,97 Данные вероятности близки к единице, поэтому вычислить

p4(t) = 0,985 Рс(t) удобно, использовав приближенную формулу.

p5(t) = 0,975 В нашем случае q1=0,02; q2=0,01; q3=0,03; q4=0,015;

q5=0,025. Тогда:

Найти: Рс(t)

Пример 16

Система состоит из трех устройств. Интенсивность отказов электронного устройства равна λ1 = 0,16٠10-3 ч -1 = const. Интенсивности отказов двух электромеханических устройств линейно зависят от времени и определяются следующими формулами: λ2 = 0,23٠10-4 t ч -1, λ3 = 0,06٠10-6 t2,6 ч -1.

Нужно рассчитать вероятность безотказной работы изделия в течение 100 ч.

Дано: N = 3 λ1 = 0,16٠10-3 ч -1 λ2 = 0,23٠10-4 t ч -1 λ3 = 0,06٠10-6 t2,6 ч -1 t = 100 ч Решение: На основании экспоненциального закона имеем Р (t) = ; Так как λ ≠ const, то на основании формулы Рс (t) = exp( имеем Рс (t) = exp {-[ (t)dt + (t)dt + (t)dt]} = exp [ - ( dt + (t)dt + (t)dt )] ; Рс (100) = exp [ - ( 0,16٠10-3 ٠100 + 0,23٠10-4 ٠ + 0,06٠10-6 ٠ )] ≈ 0,33.
Найти: Р(t)

 

Пример 17

Система состоит из трех блоков, средняя наработка до первого отказа которых равна Т1 =160 ч, Т2 = 320 ч, Т3 = 600 ч. Для блоков справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется определить среднюю наработку до первого отказа системы.

Решение. Согласно экспоненциальному закону

N = 3 Интенсивность отказов системы:

Т1=160 ч Средняя наработка до первого отказа системы:

Т2= 320 ч Значит:

Т3= 600 ч

Найти: tср с

 

Пример 18

Система состоит из двух устройств. Вероятности безотказной работы каждого из них в течение времени t = 100 ч равны: р1 (100) = 0,95; р2 (100) = 0,97. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо найти среднюю наработку до первого отказа системы tср с.

Дано: N = 2 t = 100 ч р1 (100) = 0,95 р2 (100) = 0,97 Решение: Определяется вероятность безотказной работы изделия: Рс (100) = = р1 (100) р2 (100) = 0,95٠ 0,97 = 0,92; Определяется интенсивность отказов изделия, воспользовавшись формулой Рс (100) = = ; 0,92= ; λс٠100 ≈ 0,083 ч-1, тогда tср с = = 1200 ч  
Найти: tср с    

 

Пример 19

Вероятность безотказной работы одного элемента в течение времени t равна p(t) = 0,9997. Требуется определить вероятность безотказной работы системы, состоящей из N = 100 таких же элементов.

Решение.

1 вариант решения:

p(t) = 0,9997 Если у всех элементов системы одинаковая надежность, то

N = 100 Pc(t) = pN(t) = (0,9997)100 = 0,9704.

2 вариант решения:

Pc- ? Так как вероятность Pc(t) близка к единице, то можно

воспользоваться следующей формулой: Pc(t) = 1- Qc(t). Для одного элемента системы: q(t) = 1-p(t) = 1-0,9997 = 0,0003; то есть Qc(t) = N٠ q(t) =100٠0,0003 = 0,03. Значит Pc(t) = 1-0,03 = 0,97.

Получается, что первый вариант решения более точен.

 

Пример 20

Вероятность безотказной работы системы в течении времени t равна Рс(t) = 0.95. система состоит из N = 120 равнонадежных элементов. Требуется определить вероятность безотказной работы элемента рi(t).

Дано: Рс(t) = 0.95 N = 120 Решение: Очевидно, что вероятность безотказной работы элемента будет рi (t) = . Так как р (t) близка к единице, то вычисления р (t) удобно выполнять по формуле qс = 1 - рi(t) = 1 – 0,95 = 0,05. Тогда рi(t) = = 1 - = 1 – = 0.9996.
Найти: рi(t)

 

 

Пример 21.В системе Nс = 2500 элементов и вероятность безотказной работы ее в течение одного часа Рс(1) = 98 %. Предполагается, что все элементы равнонадежны и интенсивность отказов элементов λ = 8,4٠10-6 ч-1. Требуется определить среднюю наработку до первого отказа системы tср с.

Решение.

Nс = 2500 Интенсивность отказов системы определим по формуле:

Рс(1) = 98 % λс = N٠λ = 8,4٠10-6٠2500 = 0,021 ч-1,

λ = 8,4٠10-6 ч-1 средняя наработка до первого отказа системы равна:

tср с = 1/λс= 1/0,021 = 47,6 ч.

Найти: tср с

 

Пример 22.

Система состоит из пяти приборов, вероятности исправной работы которых в течение времени t = 100 часов равны: p1(100) = 0,9996; p2(100) = 0,9998; p3(100) = 0,9996; p4(100) = 0,999; p5(100) = 0,9998. Требуется определить частоту отказов системы в момент времени t = 100 часов.

Предполагается, что отказы приборов независимы и для них справедлив экспоненциальный закон надежности.

Решение.

t = 100 ч По условиям задачи отказы приборов независимы,

p1(100) = 0,9996 поэтому вероятность безотказной работы системы равна

p2(100) = 0,9998 произведению вероятностей безотказной работы прибо-

p3(100) = 0,9996 ров. Тогда по формуле для высоконадежных систем име-

p4(100) = 0,999 ем: p1(t) p2(t) p3(t)… pN(t)

p5(100) = 0,9998 Pc(100) 1- Qi(100) = 1-(0,004+0,0002+0,0004+

+0,001+0,0002) = 0,9978.

Найти: fс

Так как вероятность безотказной работы системы близка к единице, то в соответствии с формулой

интенсивность отказов можно вычислить следующим образом:

ч-1,

тогда частоту отказов определим в соответствии с формулой:

ас(t) λс(1- λсt) = 2,2٠10-5(1-2,2٠10-5٠100) = 2,195٠10-5 ч-1.

 

Пример 23

Изделие состоит из 1 маломощного низкочастотного германиевого транзистора, 4 плоскостных кремниевых выпрямителей, 1 керамического конденсатора, 1 резистора типа МЛТ, 10 силовых трансформаторов, 3 накальных трансформаторов, 1 дросселя и 9 катушек индуктивности. Необходимо найти вероятность безотказной работы изделия в течение t =200 часов и среднюю наработку до первого отказа.

Решение.

N1 =1,

N2 =4

N3 =1

N4 =1

N5 =10

N6 =3

N7 =1

N8 =9

t =200 ч


Найти: Рс(200), tср с

Для решения данной задачи составляется и заполняется таблица 14.1, после вычисления величин интенсивности отказов изделия.

 

 

интенсивность отакзов элементов

Таблица 14.1

Наименование и тип элемента Количество элементов Ni Интенсивность отказов, 10-5 ч-1 Ni λi 10-5 ч-1
Маломощный низкочастотный германиевый транзистор
Плоскостной кремниевый выпрямитель 0,5
Керамический конденсатор
Резистор типа МЛТ 0,3 0,3
Силовой трансформатор 0,22 2,2
Накальный трансформатор 1,5 4,5
Дроссель 2,3 2,3
Катушка индуктивности 1,8 16,2

 

ч-1

По данным таблицы и по формуле для экспоненциального закона находим вероятность безотказной работы изделия в течение t = 200 ч и среднюю наработку до первого отказа:

 








Date: 2015-07-17; view: 7134; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2017 year. (0.047 sec.) - Пожаловаться на публикацию