Примеры решения задач. Пример 1. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью J=15 м/с

Пример 1. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью J=15 м/с. Период Т колебаний точек шнура равен 1,2 с, амплитуда A=2 см. Определить: 1) длину волны l; 2) фазу j колебаний, смещение x, скорость , и ускорение , точки, отстоящей на расстоянии х =45 м от источника волн в момент t=4 с; 3) разность фаз Dj колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих от источника волн на расстояниях x ₁=20 м и x ₂=30 м.

Решение. 1. Длина волны равна расстоянию, которое волна проходит за один период, и может быть найдена из соотношения

l=J T.

Подставив значения величин J и T, получим

l=18 м.

2. Запишем уравнение волны:

x=Acosw (t - x/ J), (1)

где x — смещение колеблющейся точки; х — расстояние точки от источника волн;

J — скорость распространения волн.

Фаза колебаний точки с координатой х в момент времени t определяется выражением, стоящим в уравнении волны под знаком косинуса:

j = w(t - x/ J), или j = 2p/ T (t - x/ J),

где учтено, что w=2p/ Т.

Произведя вычисления по последней формуле, получим

j=5,24 рад, или j=300°.

Смещение точки определим, подставив в уравнение (1) значения амплитуды А и фазы j: x=1 см.

Скорость точки находим, взяв первую производную от смеще­ния по времени:

=dx/dt= -Aw sinw(t - x/ J)=

Подставив значения величин p, А, Т и j и произведя вычисле­ния, получим =9 см/с.

Ускорение есть первая производная от скорости по времени, поэтому

=d /dt= -Aw²cos w(t - x/ J)=

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

=27,4 см/с².

3. Разность фаз Dj колебаний двух точек волны связана с рас­стояниемD х между этими точками соотношением

Dj=(2p/l)D x =(2p/l)(x ₂- x ₁)

Подставив значения величин l, x₁ и x ₂ и вычислив, получим

Dj=3,49 рад, или Dj=200°.

Пример 2. На расстоянии l =4 м от источника плоской волны частотой v =440 Гц перпендикулярно ее лучу расположена стена. Определить расстояния от источ­ника волн до точек, в которых будут первые три узла и три пучности стоячей волны, возникшей в результате сложения бегущей и отраженной от стены волн. Скорость J волны считать равной 440 м/с.

Решение. Выберем систе­му координат так, чтобы ось х была направлена вдоль луча бегущей волны и начало О координат совпадало с точкой, находящейся на источнике MN плоской волны (рис. 7.2). С учетом этого, уравнение бегущей волны запишется в виде

x₁=Acos(wt—k x). (1)

Поскольку в точку с координатой х волна возвратится, прейдя дважды расстояние l - х, и при отражении от стены, как среды более плотной, изменит фазу на p, то уравнение отраженной волны может быть записано в виде

x₂=Acos{wt — k[ x+ 2(l—x)]+ p}

После очевидных упрощений получим

x₂=Acоs[wt — k (2 l — х)]. 2) Сложив уравнения (1) и (2), найдем уравнение стоячей волны:

x=x₁₊x₂=Acos(wt — k x)— Acos[wt — k(2 l—x)].

Воспользовавшись формулой разности косинусов, найдем

x= -2Asink(l—x)sin(wt — k l).

Так как выражение Asink (l—х) не зависит от времени, то, взятое по модулю, оно может рассматриваться как амплитуда стоячей волны:

A_ст=|2Asink(l — x)|.

Зная выражение амплитуды, можем найти координаты узлов и пучностей.

Узлы возникнут в тех точках, где амплитуда стоячей волны рав­на нулю:|2Asink(l — x)| = 0. Это равенство выполняется для точек, координаты x_n которых удовлетворяют условию

k (l — x_n)=np (n=0, 1, 2,...). (3)

Но k=2p/l, или, так как l = J /v,

k = 2p v /J. (4) Подставив это выражение k в (3), получим

2p v (l — x_n)=n pJ,

откуда координаты узлов

x_n=l—n J / (2 v).

Подставив сюда значения l,J, v и n =0, 1, 2, найдем координаты первых трех узлов:

x ₀=4 м, x ₁=3,61 м, x ₂=3,23 м.

Пучности возникнут в тех точках, где амплитуда стоячей волны максимальна: 2Asink(l— х ')=2А. Это равенство выполняется для точек, координаты х '_n которых удовлетворяют условию k(l— х '_n)=(2n+1)(p/2) (п =0, 1, 2, 3,...). Выразив здесь k по (4), получим

4 vх '_n =4 vl —(2n+1)J,

откуда координаты пучностей

х '_n= l —(2n+l)J/(4 v).

Подставив сюда значения l, J, v и n=0, 1, 2, найдем координа­ты первых трех пучностей:

х '₀=3,81 м, х '₁=3,42 м, х '₂ =3,04 м.

Границы максимальных смещений точек среды в зависимости от их координат изображены на рис. 7.3. Здесь же отмечены коор­динаты х ₀,, х ₁, х ₂,... узлов и координаты х '₀, х '₁, х '₂... пуч­ностей стоячей волны.

Пример 3. Источник зву­ка частотой v =18 кГц приб­лижается к неподвижно уста­новленному резонатору, на­строенному на акустическую волну длиной l = 1,7 см. С ка­кой скоростью должен дви­гаться источник звука, чтобы возбуждаемые им звуковые волны вызвали колебания резонатора? Температура T воздуха равна 290 К.

Решение. Согласно принципу Доплера, частота v звука, воспринимаемая прибором (резонатором), зависит от скорости и _ист источника звука и скорости и _пр прибора. Эта зависимость выража­ется формулой

где J — скорость звука в данной среде; v ₀ — частота звуковых волн, излучаемых источником.

Учитывая, что резонатор остается неподвижным (u _пр=0), из формулы (1) получим , откуда

u _{ист =} J(1- v ₀/ v). (2)

В этом выражении неизвестны значения скорости J звука и час­тоты v.

Скорость звука в газах зависит от природы газа и температуры и определяется по формуле

. (3)

Чтобы волны, приходящие к резонатору, вызвали его колеба­ния, частота v воспринимаемых резонатором волн должна совпадать с собственной частотой v _рез резонатора, т. е.

v = v _рез=J/l_рез. (4)

где v _рез —длина волны собственных колебаний резонатора.

Подставив выражения J и v из равенства (3) и (4) в формулу (2), получим

, или .

Взяв значения g=1,4, М ==0,029 кг/моль, а также значения R, Т, v _o, l_рез и подставив их в последнюю формулу, после вычислений получим

u _ист = 36 м/с.

Пример 4. Уровень громкости l _n звука двух тонов с частотами v ₁=50 Гц и v ₂=400 Гц одинаков и равен 10 дБ. Определить уровень интенсивности L _р и интенсивность I звука этих тонов.

Решение. Искомые в задаче уровни интенсивности, соот­ветствующие частотам v ₁=50 Гц и v ₂=400 Гц, определим, пользу­ясь графиком на рис. 7.1. Вторая кривая снизу является кривой уровня громкости, равного 10 дБ. Из точек на горизонтальной оси, соответствующих частотам v ₁ и v ₂, восстанавливаем ординаты до кривой уровня громкости в 10 дБ. Значения этих ординат укажут искомые уровни интенсивности: L _р1=60 дБ для частоты v ₁=50 Гц и L _р2=20 дБ для частоты v ₂=400 Гц.

Зная уровни интенсивностей L _р1 и L _р2, определим соответствую­щие им интенсивности I ₁ и I ₂ по формуле

L _р=10 1g(I / I ₀ )

где I — интенсивность данного звука; I ₀ — интенсивность, соот­ветствующая нулевому уровню интенсивности (I ₀=1 пВт/м²).

Из приведенной формулы получим

Lg I= 0,l L _р+lg I ₀.

Подставив сюда значения L _р и I ₀ и учтя, что 1 пВт/м²=lO^-12Bт/м², найдем для v ₁=50 Гц и v ₂=400 Гц соответственно lg I ₁=0,l×60+lg10^-12=6-12= -6; I ₁=10^-6Вт/м² и lg I ₂=0.1×20+lgl0^-12=2-12= -10; I ₂=10^-10Вт/м².

Эти значения I ₁ и I ₂ можно получить и по графику, пользуясь шкалой интенсивности звука (на рис. 7.1 правая шкала).

Сопоставим полученные результаты: интенсивность первого тона в 10⁴ раз больше интенсивности второго тона; уровень интенсивно­сти первого тона на 40 дБ больше уровня интенсивности второго тона; уровень громкости обоих тонов одинаков и равен 10 дБ.

Задачи