Матричная форма записи СЛАУ. Понятие матрицы системы

а = (тут буквы а), x = (x1,x2,x3) b = (b1,b2,b3), где А матрица коэффициэнтов, x - матрица столбцов переменнывх, b матрица столбец свободных членов

27. Методы решения СЛАУ.

Метод Крамера, Метод Гаусса, Метод Обратной матрицы.

28. Матричный метод решения СЛАУ (при m=n).

Дана матрица

Составим следующую матрицу

Матричный вид , где — основная матрица системы, и — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

В-вектор свободных членов

Х-вектор переменных

Умножим это матричное уравнение слева на — матрицу, обратную к матрице :

Так как , получаем . Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

29. Метод Крамера решения СЛАУ (при m=n).
Теорема Крамера. Правило Крамера нахождение решения СЛАУ для случая М=n и lAl =треуг не равно нулю. Число уравнений=число переменных. Если определитель квадратной матрицы системы отличен от нуля треуг не равен нулю, то СЛАУ имеет единственное решение рассчитываемое по формулам.
хj = трег.j/треуг для j=1,n, где трегj – определитель получаемый из треуг заменой j-го столбца на столбец свободных членов системы. Треуг.=lAl=-1 не равен нулю метод приминим крамера.

30. Метод Гаусса решения СЛАУ. Понятие расширенной матрицы. Эквивалентные преобразования расширенной матрицы. Прямой и обратный ход метода Гаусса.
Метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных)-это метод решения СЛАУ, заключающийся в приведении этой системы уравнений с помощью элементарных преобразований к равносильной системе трапециадального или треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних по номеру переменных, находятся все остальные переменные(обратный ход метода Гаусса).
Опр. Расширенной матрицей системы уравнений называется матрица системы, дополненная справа столбцом свободных членов.(АlВ).
Примерами эквивалентных преобразований могут служить следующие преобразования: перестановка местами двух уравнений системы, перестановка местами двух неизвестных вместе с коэффициентами у всех уравнений, умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число.
Обратный ход метода Гаусса состоит в том, что, начиная с последнего уравнения ступенчатой системы, вычисляются неизвестные.

Прямой.В результате преобразований в системе уравнений будет получено уравнение вида где Ясно, что никакой набор действительных чисел этому уравнению удовлетворять не может, поэтому в таком случае система уравнений несовместна.

2. В результате преобразований получится ступенчатая система уравнений в которой количество уравнений совпадает с количеством неизвестных.В этом случае система уравнений является определённой.В результате преобразований получится система уравнений ступенчатого вида, в которой количество неизвестных больше числа уравнений системы ( )

31. Теорема о существовании решения СЛАУ. Теорема Кронекера - Капелли.
Система линейных уравнений совместно тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.
r(A)=r(AlB) –условие существования решения слау.
СЛАУ с n переменными – несовместная r(A) не равен =r(AlB)
совместная- r(A)=r(AlB) –определённая (единственное решение) r(A)=n (методы решения Крамера, обратная матрица,гаусса, Жордана Гаусса) -неопределённая r(A)<n (Метод решения Гаусса, Жордана Гауса).

32. Метод Жордана – Гаусса решения СЛАУ. Понятие базисных, свободных переменных, базисных решений.

Метод Жордана —Гаусса (метод полного исключения неизвестных) — метод, который используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе или отыскания ранга матрицы.

Базисные переменные-при r<n называются n переменных х1,х2,х3,…хn, если определитель матрицы из коэффициентов при них отличен от нуля.
Свободные переменные называются остальные n переменные.
Базисное решение системы уравнений называется решение в котором все (n-r) свободных переменных равны нулю.