Ранг матрицы и его свойства

В существующей математической литературе можно выделить несколько подходов к определению понятия ранга матрицы:

- с помощью понятия линейной зависимости/независимости строк (столбцов) матрицы (ранг равен максимальному количеству линейно независимых строк (столбцов) матрицы);

- с помощью понятия минора матрицы как наивысший порядок минора, отличного от нуля (минором матрицы порядка называется определитель – го порядка, который составлен из элементов, стоящих на пересечении вычеркиваемых строк и столбцов матрицы);

- с помощью метода Гаусса (по завершении прямого хода ранг матрицы равен количеству ненулевых строк).

Ранг матрицы обозначают

Часто нахождение ранга облегчает применение его свойств:

1. Квадратная невырожденная матрица всегда имеет ранг, отличный от нуля.

2. При транспонировании ранг матрицы не изменяется.

3. При перестановке двух параллельных рядов матрицы (двух строк или двух столбцов) ранг матрицы не изменяется.

4. При удалении нулевого столбца или нулевой строки ранг матрицы не изменяется.

5. При удалении строки (или столбца), которая является линейной комбинацией других строк (или столбцов), ранг матрицы не изменяется.

6. При умножении всех элементов строки (столбца) на число ранг матрицы не изменяется.

7. Ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е.

8. тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Ранг матрицы определен на основании свойства определителя, содержащего строки с пропорциональными элементами. (Любой минор 2-го или 3-го порядка матрицы равен нулю).

Ранги матриц и определены с помощью вычеркивания нулевых строк. ( матрице минор на пересечении двух первых строк и двух первых столбцов отличен от нуля).

Матрица – невырожденная, поэтому ее ранг равен трем. (Проверьте самостоятельно условие ).

Ранг матрицы определим с помощью элементарных преобразований:

1) элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам 2-й строки;

2) элементы первой строки умножим на (-1) и прибавим к элементам третьей строки;

3) элементы первой строки умножим на (-5) и прибавим к элементам четвертой строки:

Третью строку полученной матрицы прибавим ко второй и к четвертой строкам

(Удалены строки 2 и 4 с нулевыми элементами). Число ненулевых строк равно 2 или минор 2-го порядка в левом углу матрицы

, что и требовалось доказать.