Алгебраические операции над матрицами

1) Сложение матриц.

Матрицы одинаковой размерности можно почленно складывать.

Суммой двух матриц и одинаковой размерности называется матрица той же размерности, элементы которой, где .

Например,

Тогда .

Свойства сложения матриц:

1. (коммутативность).

2. (ассоциативность).

3. Если , то

2) Вычитание матриц определяется аналогично сложению. Если , то

В приведенном выше примере

.

3) Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы на число называют матрицу , элементы которой , где .

Например, ,

Найдем матрицу

.

Свойства умножения матриц на число:

1.

2.

3.

4) Умножение матриц.

Умножение двух матриц определено, если число (количество) столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы . Такие матрицы называются соответственными.

Пусть размерность матрицы а матрицы .

Произведением двух матриц и называется матрица , элементы которой определяются по формуле: , т.е. каждый элемент матрицы есть сумма произведений элементов -й строки матрицы на -й столбец матрицы .

При этом размерность матрицы будет равна .

Например, пусть

Размерности матриц Число столбцов матрицы , число строк матрицы . Найдем произведение

Свойства произведения матриц:

1.

2.

3.

4.

5. Произведение двух матриц в общем случае не коммутативно. Не всегда . Эти произведения могут быть разными матрицами (и с разными элементами, и разной размерности), а могут после перестановки и вовсе не существовать. Например в рассмотренном примере матрицу нельзя умножить на матрицу .

6.

7.

5) Возведение матрицы в степень.

Эта операция определяется только для квадратных матриц и только для целых степеней .

Целой положительной степенью квадратной матрицы называется произведение матриц, равных .

Принято считать .

6) Обращение матрицы.

Для матриц операция деления не определена, но можно определить аналог типа – нахождение обратной к данной.

Матрица называется обратной к матрице , если .

Обратная матрица обозначается , т.е. .

Обратная матрица существует только для квадратной матрицы, если ее определитель .

Действительно, т.к. , то .

С другой стороны,

Следовательно,

Каждая квадратная матрица с определителем, отличным от нуля, имеет обратную. Ее элементы находят по формуле .

Вычисление обратной матрицы и есть операция обращения матрицы.

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. Найти определитель исходной матрицы.

Если , то – вырожденная матрица, обратная матрица не существует и вычисление нужно прекратить.

Если , то обратная матрица существует. Перейти к п.2.

2. Найти алгебраические дополнения каждого элемента матрицы и составить матрицу из алгебраических дополнений в порядке следования элементов матрицы.

3. Транспонировать матрицу из алгебраических дополнений.

4. Полученную матрицу умножить на множитель (или иначе: каждый элемент полученной матрицы разделить на определитель матрицы ). В результате получим обратную матрицу .

5. Выполнить проверку правильности вычислений, перемножив матрицы и в прямом и обратном порядке. Получение в результате единичной матрицы служит критерием правильности вычислений, т.е. .

Пример. Найти матрицу, обратную данной

1.

- обратная матрица существует.

2.

Составим матрицу из :

3. Транспонируем матрицу :

4. , т.е.

5. Проверку предлагается выполнить самостоятельно.