Метод взвешенных невязок

Лекция 6

Метод взвешенных невязок

Метод взвешенных невязок

Метод наименьших квадратов довольно прост по своей идее. Однако большее распространение получил так называемый метод взвешенных невязок. В этом методе система уравнений для определения неизвестных коэффициентов строится следующим образом:

(28)

Здесь ‑ некоторая система «весовых» функций. Отсюда, кстати, и название «метод взвешенных невязок».

Математический смысл этого подхода состоит в следующем. Обратите внимание, что интегралы в (28) представляют собой скалярные произведения функции невязок на весовые функции. Если использовать геометрическую аналогию, то можно сказать, что интегралы в (28) представляют собой проекции функции невязок на весовые функции.

Если бы можно было в качестве весовых функций использовать полную систему функций, то полученное решение было бы точным. Однако, по понятным причинам, приходится использовать конечное число весовых функций.

Запишем систему (28) применительно к рассматриваемому примеру (1):

(29)

То есть, вновь, как и в методе наименьших квадратов, задача сводится к решению системы линейных уравнений . Но элементы матрицы и вектора имеют иной вид:

, (30)

Система весовых функций может выбираться различным образом. Попробуем сначала самый простой вариант: первые три функции степенного ряда:

, , . (31)

Напомним, что мы обязаны ограничиться только тремя весовыми функциями, поскольку в этом примере мы ищем приближенное решение в виде линейной комбинации трех функций (18), и приближенное решение (17) содержит три неизвестных коэффициента: .

Подставляя (18) и (31) в (30), получим

,

и решение системы :

Подставляя найденные значения коэффициентов в (17), получим

Таблица 3

Рис.9

Как видим, результаты оказались хуже, чем при использовании, как метода конечных разностей, так и метода наименьших квадратов. Причина такой неприятности не в том, что плох метод взвешенных невязок. Дело в том, что система весовых функций была выбрана неудачно. Как уже говорилось, в «Математическом отступлении» (втором пункте этого параграфа) эти функции и не нормированы, и не ортогональны. Там же была получена по методу Грама-Шмидта ортонормированная система функций, эквивалентная (31). Попробуем теперь в качестве весовых функций использовать функции этой системы:

В этом случае матрица и вектор :

,

а решение системы :

В результате подстановки этих значений в (17):

Таблица 4

Здесь видно, что, казалось бы, незначительное улучшение при выборе весовых функций привело к значительному повышению точности приближенного решения. Кстати, обратите внимание, что хотя матрицы и , полученные по методу наименьших квадратов и в последнем случае, различны, решения этих линейных систем практически совпали. График приближенного решения, поэтому не приводится. Он выглядел бы точным повторением рис.8.

Таким образом, конкретный выбор весовых функций существенно влияет на точность получаемого приближенного решения. Рассмотрим еще два распространенных способа выбора этих функций.