Метод замены переменной и метод интегрирования по частям определенного интеграла.

При вычислении определенных интегралов с использованием формулы Ньютона—Лейбница рекомендуется жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нахождение приращения первообразной). Такой подход, использующий, в частности, формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла, обычно позволяет упростить запись решения.

Подобно тому, как это было в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному.

Пример. Вычислить интеграл:

Решение.

Положим .

Тогда

Отсюда .

Находим значения t в установленных пределах:

Если х = 0, то

Если х = 1, то

Подставляем найденные значения пределов новой переменной:

При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования a и b по новой переменной t как решение относительно переменной t уравнений j (t)= a и j (t)= b.

На практике, выполняя замену переменной, рекомендуется указывать выражение t = y (x) новой переменной через старую. В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной t упрощается: a = y (a) и b = y (b).

Примеры выполнения заданий по теме
«Дифференциальные уравнения»