Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение

Для уравнений (1), у которых (2), где - постоянные величины, существует способ, с помощью которого задачу нахождения фундаментальной системы решений можно свести к задаче нахождения корней некоторого вспомогательного алгебраического уравнения.

Для этого будем искать решения уравнения в виде . При этом (3). Подставим полученные величины в уравнение (1): , или . Поскольку при всех , из этого уравнения следует, что (4).

Таким образом, функция удовлетворяет уравнению (1) тогда и только тогда, когда удовлетворяет уравнению (4). Уравнение (4) называется характеристическим уравнением уравнения (1).

Далее мы установим вид фундаментальной системы решений уравнения (1) в зависимости от свойств корней уравнения (4).

Случай 1. Пусть все корни уравнения (4) действительные и различные. Обозначим их и рассмотрим функции , являющиеся решениями уравнения (1) по доказанному выше. Докажем линейную независимость. Это будет означать, что - фундаментальная система решений (1). Определитель Вронского этой системы функций равен, с учетом (2) или, после вынесения из столбцов множителей . Определитель представляет собой известный определитель Вандермонда. Он равен . Поэтому если все числа попарно различны, этот определитель не равен 0. Следовательно, как доказано выше (теорема 7 предыдущего параграфа), функции линейно независимы и составляют искомую фундаментальную систему решений.

2 случай. Все корни - различные, но среди них есть комплексные числа. Формально - это снова фундаментальная система решений уравнения, т.к. эти функции линейно независимы (их определитель Вронского, как и в случае 1, отличен от 0). Однако мы рассматриваем уравнение с действительными коэффициентами и нам было бы желательно построить фундаментальную систему решений, состоящую из действительных функций. Для этого мы сначала установим следующую важную лемму.

Лемма. Пусть - линейное однородное дифференциальное уравнение (1) такое, что все постоянные - действительные числа. Пусть комплексная функция удовлетворяет этому уравнению. Тогда ему удовлетворяют и функции .

Доказательство. Равенство означает: , откуда , или . Комплексная величина равна 0 тогда и только тогда, когда ее действительная часть и мнимая часть равны 0, откуда , т.е. - решения уравнения (1), что и требовалость доказать.

Пусть теперь - любой комплексный корень уравнения (4). Поскольку (4) имеет действительные коэффициенты, число также является его корнем. Значит, - тоже решение уравнения (1).

Далее, . По лемме, также являются решениями уравнения (1). Легко видеть, , т.е. являются линейными комбинациями . Разумеется, также можно линейно выразить через . Поэтому линейная независимость решений с остальными решениями уравнения (1) равносильна линейной независимости с остальными решениями.

Подведем итоги. В случае, когда все - различные, причем - действительные, а - пара комплексно сопряженных чисел (), причем , то фундаментальная система решений уравнения (1) имеет вид: .

Случай 3. Корни характеристического уравнения действительные, но среди них есть кратные. Напомним, что число называется корнем многочлена кратности , если , где - многочлен, причем .

Пусть корни имеют, соответственно, кратности . Тогда можно доказать (но мы оставим это без доказательства), что функции составляют фундаментальную систему решений уравнения (1).

Пример. Приведем пример, подтверждающий это утверждение. Уравнению соответствует характеристическое уравнение , . Оно имеет корень с кратностью 2. Рассмотрим функции . и подставляя в исходное уравнение, получаем , т.е. верное равенство. Далее, и подстановка функции в уравнение дает верное равенство: . Итак, - действительно решения уравнения . Эти функции линейно независимы, т.к. из равенства при следует . Значит, . Тогда при .

В случае 4, когда действительные корни уравнения (4) имеют кратности , а комплексные корни имеют кратности можно доказать, что функции образуют фундаментальную систему решений уравнения (1).

Осталось напомнить, что согласно теореме 9 предыдущего параграфа, произвольное решение уравнения (1) имеет вид: , где в качестве можно в каждом из рассмотренных случаев выбрать построенные элементы фундаментальной системы решений.