Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Линейная зависимость функций. Определитель Вронского
Перейдем к более глубокому изучению свойств векторного пространства решений уравнения (2). Мы установим ниже, что оно имеет размерность . Определение. Пусть - функции, имеющие все производные до порядка включительно. Определителем Вронского функций называется величина (3). Определение. Пусть определены ны интервале . Мы назовем их линейно зависимыми, если существуют постоянные , не все равные 0, такие, что для всех (4). Функции, которые не являются линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Линейная независимость означает, что из равенства (4) следует, что . Теорема 5. Если - линейно зависимы и имеют производные до порядка включительно, то . Доказательство. По условию, существуют не все равные 0 числа такие, что на выполняется тождество (5). Взяв производную от обеих частей, получим: (6). Аналогично, , (7) (8). Рассмотрим произвольное . Равенства (5) – (8) можно рассматривать как систему линейных однородных уравнений относительно неизвестных . Поскольку эта система имеет нетривиальное решение (это означает, что не все равны 0), ее определитель должен быть равен 0, т.е. . Обратная теорема в общем случае неверна. Рассмотрим, например, функции , для которых и их определитель Вронского тождественно равен 0. Однако если , то при любом получаем , откуда , а при любом получаем , откуда . Поэтому функции и линейно независимы. Тем не менее, верна следующая важная теорема. Теорема 6. Если являются решением уравнения (2) и в некоторой точке , то линейно зависимы на (и, следовательно, ). Доказательство. Рассмотрим систему линейных уравнений относительно неизвестных : (9). Ее определитель равен . По условию, . Значит, система (9) имеет нетривиальное решение . Рассмотрим функцию . По теореме 1, является решением уравнения (2). Равенства (9) можно рассматривать как условия задачи Коши, , которая, по теореме 1, имеет единственное решение. Вместе с тем, функция также удовлетворяет уравнению (2) и условиям (10). Ввиду единственности, . Таким образом, существуют не все равные 0 постоянные такие, что . Поэтому - линейно зависимы на . Следовательно, по теореме 5, на .
|