Вопрос 30.1. Классификация простых полей. Простые расширения полей. Поле разложения многочлена.

Опр. Полем наз. коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим.

Опр. Поле наз. простым, если в нем нет собственных подполей.

Опр. Если Р< P’, то P’ наз. расширением поля Р.

Опр. Делител ь d(x) P(x) многочлена f(x) P[x] наз. собственным, если 0< deg d(x)< deg f(x) и несобственным в противном случае.

Опр. Многочлен f(x) P[x] наз. неприводимым над полем P (или неприводим в кольце P[x]), если deg f(x) >o и f(x) не имеет собственных делителей в кольце P[x].

Теорема. Для любого поля Р и неприводимого многочлена f P[x] существует поле Q>P: Q=P(a), где a - корень f.

Д-во:

Рассмотрим : P[x] ® =Q

a Q, deg a = 0 Þ a P Þ P<Q

x Q: f(x)º0 (mod f) Þ x – корень f в поле Q.

Q=P(x), a=x (x - класс эквивалентности в фактор-кольце )

Опр. Поле Q в условии теоремы наз. полем разложения многочлена f.

Теорема. Любое конечное поле является полем разложения многочлена.

Д-во:

Пусть a P, =q. если а ¹0, то a P* (P* - группа по умножению). =q-1 Þ =e Þ а – корень -е Þ любой элемент поля Р является корнем многочлена x ( -е)= -x Þ Р – поле разложения многочлена -x над .

Вопрос 37.1. Существование и единственность конечного поля заданной мощности. Свойства конечных полей

Конечные поля.

Опр. поле Р – конечное, если |P|<¥.

Утверждение. Пусть Р – конечное поле, тогда:

1. Р – расширение конечной степени простого поля /р, р – простое число.

2. |P|=рⁿ, где [P:P₀]=n, Р₀ – простое поле, |P₀|=p, р – простое число.

3. char(P)=char(P₀)=p (p – простое число)

4. Р – минимальное поле разложения F(x)=x^p-x над Р₀ (простым полем).

Доказательство. 1) |P|<¥, P₀<P, P₀ – простое подполе, тогда |P₀|<¥ Þ $ р – простое число, такое что P₀= /р и | P₀|=p

2) т. к. |P|<¥ и по свойству 2, то Р= P₀(М) – конечное расширение, т.е. |M|<¥ [P:P₀]<¥, т.е. Р – линейное пространство над Р₀ конечной размерности, т.е. " wÎP: w=a₁a₁+…+ a_na_n, a_iÎP₀, a_iÎ, но тогда |P|=|P₀|ⁿ, где n=dim()=[P:P₀]=n, т.е. |P|=pⁿ, где р=|P₀|.

3) char(P)=char(P₀), где Р>P₀, P₀ – простое подполе и р=char(P₀)=char(/p)

4) Рассмотрим Р^*=Р\{0}. Но Р^*(°) – абелева группа, причем |Р^*(°)|=рⁿ-1, т.е. "аÎР^*: =1, т.е. а – корень уравнения -1=0. Тогда "аÎР является корнем уравнения -x=0. Но число корней -x=0 £ рⁿ Þ все корни -x=0 различны и их ровно рⁿ штук. Тогда Р – минимальное поле разложения -x.ЧТД

Теорема. "р – простого и nÎ $! Р – конечное поле, т.ч. |P|=рⁿ (с точностью до изоморфизма)

Доказательство Рассмотрим F(x)= -x над полем P₀, т.ч. P₀ @ /р. Пусть Р – минимальное поле разложения многочлена F(x), т.е. множество М={a|F(a)=0}ÌP. Докажем, что М – поле, т.е. достаточно показать, что "a,bÎМ: abÎM и a+bÎM.

а) Покажем, что abÎM. Рассмотрим

б) Покажем, что a+bÎM, т.е. надо показать , для этого покажем, что . Применим метод математической индукции.

1. n=0 – утверждение верно

2. допустим верно для всех k меньших некоторого n.

3. Покажем, что при этих допущениях верно и при n.

¨

(последнее равенство имеет место быть, так как (Это легко видеть, если расписать по определению))

Таким образом М – поле. Но МÌР, где Р – минимальное поле разложения Þ М=Р.

Осталось показать, что |P|=pⁿ, т.е. у многочлена F(x) нет кратных корней. Воспользуемся критерием: f(x) не имеет кратных корней Û НОД(f(x),f’(x))=1, т.е. найдем

НОД( -x, -1)=НОД( -x, -1)=1 Þ кратных корней нет и |P|=pⁿ.

Докажем единственность. Пусть |P₁|=|P₂|=pⁿ. Но P₁,P₂ – минимальные поля разложения F(x)= -x Þ (по теореме о мин. поле разложения многочлена) P₁@P₂.

Утверждение. Пусть Р – конечное поле, тогда Р^*=Р\{0} – циклическая группа. (без доказательства)

Опр. Пусть qÎР – конечное поле, q - примитивный элемент Р, если <q>=Р^*.

То есть все поле, кроме нулевого элемента, должно порождаться этим примитивным элементом.

Утверждение. " конечного поля Р и "nÎ $f(x)ÎP[x], т.ч. f(x) – неприводим и deg(f(x))=n.