Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Понятие дифференцируемости функции нескольких переменных.





Пусть функция y = f(X) определена в точке M(X) и в некоторой ее окрестности. Составим полное приращение функции в точке М(Х)= M(x1, x2,..., xn). Для этого дадим приращения каждой независимой переменной DМ(Dх1, Dx2,..., Dxn). В результате получим «новую» точку М + DМ = (x1+Dx1, x2+Dx2,..., xn+Dxn), которая принадлежит данной окрестности точки М. Тогда полным приращением Dy функции y = f(X) в точке M(X) будет являться разность:

Dy = f(M+DM) – f(M) = f(x1+Dx1, x2+Dx2,..., xn+Dxn) - f(x1, x2,..., xn) (1).

Определение. Функция y = f(X) называется дифференцируемой в точке M(X), если ее полное приращение (1) в этой точке можно представить в виде:

Dy = + +...+ + a1Dx1+a2Dx2+...+ anDxn (2),

где a1, a2,... an – бесконечно малые функции соответственно при Dx1 ® 0, Dx2 ® 0,... Dxn ® 0.

Сумма первых n слагаемых в равенстве (2) представляет собой линейное выражение относительно Dx1, Dx2,..., Dxn и является главной линейной частью полного приращения функции y = f(X), которое называется полным дифференциалом этой функции и обозначается dy или df(X):

dy = = + +...+ (3).

Для независимых переменных x1, x2,..., xn полагают Dx1 = dx1, Dx2 = dx2,..., Dxn = dxn, тогда формулу (3) можно переписать в виде:

dy = = + +...+ (4).

Теорема 1. (необходимое условие дифференцируемости функции)

Если функция y = f(X) дифференцируема в точке M(X), то она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные , i = 1,2,…n.

Доказательство.

Пусть выполняется условие (2) и - некоторые числа (i = 1,2,…n).

Из условия (2) следует, что частные приращения функции y = f(X) в точке М, соответствующие приращению i любого из n аргументов xi, i = 1,2,…n, будут иметь вид:

Dхiy = + aiDxi, т.к. Dxi ¹ 0, а все Dxj = 0, если j ¹ i.

Тогда . Устремим Dxi ® 0 и перейдем к пределу

, т.к. по определению (2).

Непрерывность функции f(X) в точке М следует непосредственно из условия (2):

т.е. Dy ® 0 при Dxi ® 0, i = 1,2,..., n. Ч.т.д.

Теорема 2. (достаточное условие дифференцируемости функции)

Если функция y = f(X) имеет частные производные по всем аргументам в некоторой окрестности точки М(Х), причем эти производные непрерывны в самой точке М(Х), то данная функция дифференцируема в точке М(Х). (без доказательства).

Теорема 2 имеет важное следствие: непрерывность функции вытекает из непрерывности ее частных производных.

Непрерывность функции нескольких переменных напрямую проверить бывает довольно сложно, но, используя данное следствие, можно установить это свойство функции, если проверить непрерывность ее частных производных.

Date: 2016-07-05; view: 254; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.007 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию