Операции с производными

Выведем важнейшие формулы, касающиеся вычисления производных. В дальнейшем f (x) и g(x) - некоторые функции, у которых существуют и , а C - некоторая константа (число).

1.

Доказательство

2.

Доказательство

Аналогично выводится формула для .

3.

Доказательство

В числителе дроби прибавим и вычтем комбинацию

4.

Доказательство

прибавляем и вычитаем в числителе комбинацию

5.

В выражении подразумевается, что производная от функции f берется так, как будто g(x) является единым целым (аргументом).

Доказательство

Пусть аргумент x получил приращение . Тогда функция g(x) получила приращение так что . Поэтому

делим и умножаем дробь на

6.

Доказательство

Пусть так что . Если аргументу x дать приращение то величина получит приращение . Поэтому

Однако в данной формуле есть одна неувязка. Слева стоит функция от , а справа получилась функция от . Чтобы устранить это несоответствие надо в правой части заменить на . Тогда получим окончательно

.

Полученные формулы можно свести в таблицу

Функция	Производная