Определение и геометрический смысл производной

Пусть функция f(x) непрерывна в точке x₀.

Определение. Производной от функции f(x) в точке x₀ называется величина

Величина ∆x называется приращением аргумента, а величина

∆ f (x₀)= f (x₀+∆x)- f (x₀) приращением функции.

Понятие производной впервые появилось в физике в связи с понятием скорости. Пусть некоторая материальная точка движется по оси x так что x(t) есть координата точки в момент времени t. Спустя время ∆t координата точки будет x (t+∆t), т.е. за время ∆t точка пройдет путь∆x= x(t+∆t) - x(t). Поэтому средняя скорость точки за интервал времени ∆t будет равна . Чтобы найти мгновенную скорость точки в момент времени t надо устремить ∆t к нулю, т.е.

Таким образом, производная от координаты точки определяет ее мгновенную скорость. Поэтому и производную функции в некоторой точке можно трактовать как скорость изменения функции.

Дадим еще геометрический смысл производной. В определение производной входят две операции: деление и предельный переход при . Что же это дает?

Нанося на график точки с координатами (, ) и (, ) мы получим фигуру изображенную на рисунке. Проведем через эти точки линию, которая называется секущей. Тогда дробь есть не что иное как , где есть угол наклона секущей к оси OX.

Но, в определении производной есть еще предельный переход при . Что же дает этот предельный переход?.

При точка M начинает двигаться к точке M₀. При этом вся секущая будет поворачиваться около точки M₀ и в пределе она превратиться в касательную к точке M₀. Угол при этом перейдет в угол , который эта касательная образует с осью OX. Поэтому можно утверждать, что

где угол, образованный касательной к кривой в точке и осью OX.