Функции действительного переменного.

Определение Если каждому элементу х множества Х R(называемого областью определения функции) по определенному закону ставится в соответствие единственный элемент у множества Y R, то подобное отображение называется функцией действительного переменного, определенной на множестве Х со значениями в множестве Y. При этом х называется независимой переменной, или аргументом, а у = f(x) – зависимой переменной, или функцией.

Замечание. Мы будем рассматривать только однозначные функции (в отличие от многозначных функций, для которых одному значению х может соответствовать более одного значения у).

Способы задания функции:

табличный

графический

аналитический.

Определение. Если у=F(u) является функцией от u, a u=φ(x) – функцией от х, то

у = F[φ(x)]

называется сложной функцией или функцией от функции.

Основные элементарные функции.

Степенная функция у = х^α,

Показательная функция у = ах, a > 0, a 1.

Логарифмическая функция y=logax, a > 0, a 1.

Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, y = sec x, y = cosec x.

Обратные тригонометрические функции: y = arcsin x, y = arсcos x, y = arctg x, y = arcctg x, y = arcsec x, y = arccosec x.

Определение Элементарной функцией y = f(x) называется функция, заданная с помощью основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций и взятия функции от функции.

Определение. Если для функции у = f(х) можно определить функцию х = g(у), ставящую в соответствие каждому значению функции у = f(x) значение ее аргумента х, то функция у = g(x) называется обратной функцией к у = f(x) и обозначается y = f ^–1(x).

Пределы функций.

Определим понятие окрестности точки х0 как множество значений х, являющихся решениями неравенства 0<|x - x0| < δ, где δ > 0 – некоторое число. Само значение х0 может включаться в окрестность или не включаться в нее (в этом случае окрестность называется проколотой).

Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки х0.

Определение. Число А называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к х₀, если такое, что |f(x) - A| < ε при |x - x₀| < δ.

Обозначение: .

Замечание. Для существования предела функции в точке х₀ не требуется, чтобы функция была определена в самой этой точке.

Примеры.

Докажем, что Если |2x+1-7| < ε, то |2x - 6| < ε, |x - 3| < ε/2. Таким образом, если принять δ(ε) = ε/2, то выполнены все условия определения предела. Утверждение доказано.

Заметим, что в проколотой окрестности х=2 поэтому мы имеем право сократить дробь на (х - 2).

Определение Функция у = f(x) имеет бесконечный предел при х, стремящемуся к х0 (стремится к бесконечности, является бесконечно большой), если такое, что |f(x)| > M при |x - x0| < δ.

Обозначение:

Определение. Число А называется пределом функции y = f(x) на бесконечности, если при x > X (), при x < -X (), при |x| > X (

Замечание. Бесконечный предел функции на бесконечности можно определить по аналогии с определением 13.8.

Определение. Функция у = f(x) называется ограниченной в некоторой области значений х, если существует число М>0 такое, что |f(x)|<M для всех значений х, принадлежащих рассматриваемой области.

Свойства пределов.

1. Если существует (А – конечное число), то функция у = f(x) является ограниченной в некоторой окрестности (возможно, проколотой) точки х0.

Доказательство. Так как для любого ε существует такое δ, что |f(x) - A| < ε при |x - x0| < δ, то при этом |f(x)| < |A| + ε, то есть функция ограничена в рассматриваемой окрестности.

2. Функция не может иметь двух различных пределов при х, стремящемуся к одному и тому же значению.

Доказательство. Пусть А и В – пределы f(x) при х→х0. Выберем ε < |A-B|. Тогда существует такое δ1, что |f(x)-A|<ε/2 при |x - x0| < δ1, и такое δ2, что |f(x)-B|<ε/2 при |x - x0| < δ2. Если выбрать в качестве δ меньшее из чисел δ1 и δ2, то значения функции f(x) для аргументов, лежащих в δ – окрестности х0, должны одновременно находиться в двух непересекающихся окрестностях, что невозможно. Утверждение доказано.

Если и А , то существует окрестность точки х0, в которой функция f(x) сохраняет постоянный знак (f(x)>0, если A > 0, и f(x)<0, если A < 0).

Доказательство. Достаточно выбрать ε=|A|/2. Тогда для х из некоторой окрестности х0 |f(x)-A| < |A|/2, то есть А/2 <f(x) <3A/2 при A > 0 и 3A/2 < f(x) < A/2 при A < 0. Следовательно, в выбранной окрестности f(x) сохраняет постоянный знак.