Векторное произведение векторов и его свойства

Введем сначала понятие ориентации тройки векторов.

Пусть даны три некомпланарных вектора с общим началом, перечисленных в определенном порядке: первый – , второй – , третий – .

Тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной или просто правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае тройку векторов называют левой, в этом случае если мы будем смотреть с конца вектора , то кратчайший поворот от к осуществляется по часовой стрелке.

Векторным произведением векторов и называется новый вектор , удовлетворяющий условиям:

1. Длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и .
2. Вектор перпендикулярен плоскости этого параллелограмма.
3. Он направлен так, что векторы и образуют правую тройку векторов.

Векторное произведение векторов и обозначается символом . Если хотя бы один из сомножителей равен нулю, то векторное произведение по определению считают равным нулю

Свойства в екторного произведения обладает следующими и:

1. Из определения следует, что длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах, и, следовательно, находится по формуле:

.

Таким образом, и .

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет свой знак .

Действительно из определения векторного произведения следует, что векторы и имеют одинаковые модули, расположены на одной прямой, но направлены в противоположные стороны. Поэтому, векторы и являются противоположными векторами и поэтому .

1. Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е. для любого числа λ и любых векторов

.

1. Для любых векторов имеет место равенство

.

Примем без доказательства.

1. Векторное произведение двух векторов равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю или векторы коллинеарны.

Действительно, если векторы коллинеарны, то , т.е. площадь параллелограмма, построенного на данных векторах,равна нулю.

Таким образом, для того чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору.

В частности .