Дисперсионный анализ

Постановка задачи

Сущность дисперсионного анализа заключается в изучении статистического влияния одного или нескольких факторов на результативный признак. Под результативным признаком в данном случае понимается свойство объектов, изучаемое как результат влияния различных факторов: организованных (учтенных) и неорганизованных (неучтенных) в данном исследовании. Фактор же - это любое влияние или состояние, которое отражается на разнообразии результативного признака. При помощи дисперсионного анализа можно количественно измерить силу влияния того или иного фактора и определить достоверность этого влияния.

Если рассматривается воздействие одного фактора на результативный признак, такой комплекс называется однофакторным, двух факторов - двухфакторным, трех и более факторов - многофакторным.

Пример 5.1. Исследуется влияние на величину текущего прироста стволовой древесины возраста и полноты древостоев. Результативным признаком здесь будет прирост стволовой древесины; организованными в исследовании факторами - возраст и полнота древостоя; неорганизованными в исследовании факторами или неучтенными являются все остальные (класс бонитета насаждения, количество дней вегетации, солнечная радиация, количество осадков и т. д.). Дисперсионный комплекс в данном случае будет двухфакторным (исследуются два фактора). Если же мы учтем из перечисленных факторов (и ранее не учтенных), еще один фактор, например, класс бонитета, комплекс будет трехфакторным.

Схемы расчетов различных комплексов будут различны. Прежде чем привести примеры решения однофакторного и двухфакторного дисперсионных комплексов, рассмотрим некоторые понятия и термины, применяемые в дисперсионном анализе.

Градация факторов - это степень их действия или состояние объектов изучения. Градациями факторов в лесном хозяйстве могут быть разные дозы вносимых удобрений, разная температура почвы и окружающего воздуха, разная густота или полнота естественных и искусственных древостоев, разный класс бонитета, разный возраст и т. д. Число градаций исследуемого признака устанавливается в процессе составления методики и уточнения ее при сборе материала.

Пример 5.2. Три класса бонитета, пять классов возраста соответственно дают число градаций 3 и 5.

Если во все градации подбирается одинаковое число наблюдений (например, пробных площадей), комплекс называется равномерным, неодинаковое число наблюдений - неравномерным. Если градации двух- или многофакторных комплексов заполнены неодинаковым числом наблюдений, но так, что они по градациям одного фактора находятся в одинаковом отношении в градациях всех остальных факторов, такой комплекс называется пропорциональным. Равномерные и пропорциональные комплексы называются ортогональными. При исследовании количественных признаков в градации комплекса заносятся варианты - числовые результаты измерения признака у каждого отдельного объекта. При изучении количественных признаков в градации комплекса заносится число объектов с наличием признака и общее число объектов. Под дисперсией понимают наличие разнообразия в группе и первичную меру, которая определяет степень этого разнообразия. Она равна сумме квадратов отклонений: вариант (конкретных числовых измерений) от общей и частных средних или частных средних от общей средней.

Для характеристики основных типов моделей, встречающихся в дисперсионном анализе, рассмотрим два реальных примера.

1. В вегетационных опытах испытывали влияние ряда питательных смесей на содержание азота в листьях различных древесных пород. Методом дисперсионного анализа требуется оценить влияние породы и питательной смеси на эти показатели.

2. У совокупности случайным образом отобранных нескольких десятков одновозрастных еловых древостоев определены средние высоты и средние видовые числа f. Требуется установить, влияет ли средняя высота древостоя на величину f.

При общей постановке вопроса ситуация в примерах существенно различается. В первом примере факторы - фиксированные, постоянные величины; исходные данные для анализа можно рассматривать как выборку из бесчисленного множества опытов над данной породой с данной питательной смесью. Во втором - рассматриваемый в качестве независимой переменной фактор (средняя высота) сам является случайной величиной, а выбранные для исследования древостои могут рассматриваться как случайная выборка из всех еловых насаждений.

Аналогично приведенным примерам возможны три основные модели дисперсионного анализа:

· с фиксированными (постоянными) факторами;

· со случайными (стохастическими) факторами;

· со смешанными (часть факторов постоянна, другая - случайная).

Общая теория разработана для первой модели. Для двух остальных в сложных задачах не всегда можно найти приемлемую теоретическую схему. Однако в большинстве практических случаев для всех трех моделей можно применять одинаковые вычислительные схемы и методы оценки. К тому же во многих задачах лесного дела можно ограничиться первой моделью. Так, пример по оценке воздействия на среднее видовое число средней высоты целесообразно привести к модели с постоянными факторами: сначала зафиксировать некоторые значения (уровни) высот, а затем по ним выбирать древостои.

Ниже на примерах однофакторного и двухфакторного комплексов рассмотрены основные идеи дисперсионного анализа и иллюстрирующие их вычислительные схемы при обработке лесохозяйственной информации.