Лекция №4. Математическое описание процессов преобразования энергии

Цель лекции:

- ознакомить студентов ссистемой уравнений, описывающих процессы электромеханического преоб­разования энергии, дифференциальными уравнениями, описы­вающих переходные и установившиеся про­цессы в обобщенной машине, моделью обобщенного электромеханиче­ского преобразователя.

Содержание лекции:

- система уравнений, описываю­щих процессы электромеханического преоб­разования энергии;

- дифференциальные уравнения, описы­вающие переходные и установившиеся про­цессы в обобщенной машине;

- модель обобщенного электромеханиче­ского преобразователя.

Математическая модель электрической машины — это система уравнений, описываю­щих процессы электромеханического преоб­разования энергии с допущениями, обеспечи­вающими необходимую точность решения для рассматриваемой задачи. Математиче­ские модели электрических машин широко используются для исследования электроме­ханических систем благодаря применению аналоговых и цифровых вычислительных ма­шин. В настоящее время созданы модели, позволяющие исследовать практически лю­бые задачи, встречающиеся в электромаши­ностроении.

Несмотря на бесконечное конструктив­ное разнообразие индуктивных электрических машин все электрические машины с круговым полем в воздушном зазоре можно свести к обобщенной электрической машине. Обобщенная элек­трическая машина — это идеализированная двухполюсная машина с двумя парами об­моток на статоре и роторе. В ней энергия магнитного поля сосредоточена в воздуш­ном зазоре и поле синусоидальное. В воз­душном зазоре обобщенной машины вра­щающееся магнитное поле может создавать­ся обмотками статора и ротора. Напряжения статора или ротора создают сдвинутые во времени токи, а за счет пространственного сдвига обмоток в зазоре создается вращаю­щееся поле.

Машины постоянного тока получаются из модели обобщенной электрической ма­шины, если обмотки ротора или статора питать через преобразователь частоты.

В машинах постоянного тока преобра­зователем частоты является механический преобразователь частоты — коллектор. По­стоянный ток преобразуется в многофазный переменный ток, который создает вра­щающееся поле, неподвижное относительно обмотки возбуждения, расположенной на статоре.

Как в машинах переменного, так и в машинах постоянного тока много фазная симметричная обмотка приводится к двух­фазной, которая и рассматривается в обоб­щенной электрической машине. Процессы преобразования энергии в много­полюсных машинах приводятся к процессам в двухполюсной машине.

Уравнения обобщенной электрической машины были предложены Г. Кроном в 30-х годах, и в последние десятилетия теория обобщенной машины получила дальнейшее развитие в работах советских и зарубежных ученых.

Рисунок 4.1 - Модель двухфазной машины в не­преобразованной системе координат

Дифференциальные уравнения, описы­вающие переходные и установившиеся про­цессы в обобщенной машине в естественных или фазовых непреобразованных координа­тах (см. рисунок 4.1), имеют вид

u_a^s=i_a^sr_a^s+dψ_a^s /dt;

u_b^s=i_a^sr_a^s+dψ_a^s /dt; (4.1)

- u_a^s=i_a^sr_a^s+dψ_a^s /dt;

- u_b^s=i_a^sr_a^s+dψ_a^s /dt.

В (4.1) потокосцепления обмоток

Ψ_a^s= L_a^si_a ^s+ M(cos Ө)i_a^r + M (sinӨ) i_b^r;

Ψ_a^s= L_b^si_b^s + M(cos Ө)i_b^r – M (sinӨ)i_a^r; (4.2)

Ψ_a^r= L_a^ri_a ^r+ M(cos Ө)i_a^s - M (sinӨ) i_b^s;

Ψ_a^r= L_b^ri_b^sr+ M(cos Ө)i_b^s + M (sinӨ)i_a^s.

В (4.1) и (4.2) u_a^s, u_b^s, u_a^r, u_b^r - напряжения на обмотках статора и ротора; i_a^s, i_b^s, i^r, i_b^r — токи в обмотках статора и ротора; r_a^s, r_b^s, r^r, r_b^r — активные сопротивления обмоток статора и ротора; L_a^s, L_b^s, L^r, L_b^r — индуктивности обмоток статора и ротора; М — взаимная индуктивность между обмот­ками статора и ротора; Ө — угол между осями обмоток статора и ротора.

Если подставить (4.2) в (4.1), получатся громоздкие уравнения с периодическими коэффициентами. Для упрощения уравнений электромеханического преобразования энер­гии рассматривается псевдонеподвижная ма­шина, в которой в обмотки ротора вводится ЭДС вращения. При этом в неподвижной и вращающейся машинах токи, активная и реактивные мощности остаются неизмен­ными.

В неподвижной системе координат α, δ уравнения обобщенной машины, выражен­ные через потокосцепления, выглядят следующим образом:

u_α^s = i_α^s r_α^s + ;

u_β^s = i_β^s r_β^s + ; (4.3)

u_α^s = i_α^s r_α^s + + ω_rψ_β^r;

u_β^s = i_β^s r_β^s + - ω_rψ_α^r. (4.4)

Подставляя в (4.4) значения потокосцеплений

(4.3)

ψ_α^s = L_α^si_α^s + Mi_α^r;

ψ_β^s = L_β^si _β^s + Mi_β^r; (4.5)

ψ_α^r = L_α^ri_α^r + Mi_α^s;

ψ_β^r = L_β^ri _β^r + Mi_β^s;

получаем выраженные через токи уравнения напряжений для машины, которые удобно записывать в матричной форме:

	uαs		0 0		iαs
	uαr   uβr	=	Lβrωr Mωr - Mωr -Lαrωr	X	iαr     iβr
	uβs		0 0		iβs

В (4.1)-(4.5) u_α^s, u_β^s, u_α^r, u_β^r, i_α^s, i_β^s, i_α^r, i_β^r, - соответственно напряжения и токи в об­мотках статора и ротора по осям α и β; r_α^s, r_β^s, r_α^r, r_β^r, — активные сопротивления обмоток статора и ротора; М — взаимная индуктив­ность; L_α^s, L_β^s, L_α^r, L_β^r, — полные индуктивности обмоток статора и ротора по осям α и β; ω_r — угловая скорость ротора.

Индуктивности обмоток определяются по известным соотношениям

L_α^s =M +l_α^s; L_β^s =M +l_β^s

где l_α^s, l_β^s, l_α^r, l_β^r — индуктивности рассеяния об­моток статора и ротора по осям α и β.

Активные сопротивления и индуктивно­сти в (4.4) относятся к фазе машины и опре­деляются расчетным и опытным путем.

Применяя преобразования координат при инвариантной мощности, получают уравнения в других координатах.

Процессы преобразования энергии в пе­реходных процессах описываются уравне­ниями напряжений (4.1) или (4.2) и уравне­нием движения

M_э = (4.6)

где М_э — электромагнитный вращающий мо­мент — момент, создаваемый машиной; М_с — момент сопротивления с учетом момента тре­ния; р — число пар полюсов; J — момент инерции.

Вращающий момент

М_э , (4.7)

где m — число фаз.

Вращающий момент может быть выра­жен:

через потокосцепления (4.5)

М_э = , (4.8)

через потокосцепления и токи статора:

М_э = , (4.9)

через потокосцепления и токи ротора:

М_э = . (4.10)

Справедливость (4.8) - (4.10) подтверж­дается, если в (4.9) подставить значения потокосцеплений и токов из (4.2). Вращающий момент после преобразований (4.9) - (4.10) может иметь и другой вид. Вращающий мо­мент можно определить также через намаг­ничивающие токи и через изменение энергии магнитного поля или из выражения вектора Пойнтинга.

При круговом поле в воздушном зазоре наращивание сложности уравнений происхо­дит при учете нелинейностей параметров и учете нескольких контуров на статоре и роторе.

Уравнения электромеханического преоб­разования энергии усложняются при наличии двух полей в воздушном зазоре машины. При эллиптическом поле система уравнений электромеханического преобразования энер­гии состоит из восьми уравнений напряже­ния и уравнения электромагнитного момента с четырьмя парами произведений токов в об­мотках статора и ротора. Число уравнений увеличивается при учете контуров с токами на статоре и роторе. Учет нескольких полей и контуров на статоре и роторе приводит к системе с несколькими десятками уравне­ний. Наиболее простая система уравнений — система уравнений третьего порядка — полу­чается, если использовать описание процес­сов преобразования энергии через обобщен­ные векторы

U= ; (4.11)

U= - jω_rψ^r.

Система уравнений (4.11) и уравнение движения (4.6) описывают динамические и статические характеристики электрической машины.

Уравнения установившегося режима по­лучаются из дифференциальных уравнений путем замены в уравнениях электромехани­ческого преобразования энергии оператора дифференцирования

d/dt ↔jω

В установившемся режиме уравнения на­пряжений и уравнение движения могут рас­сматриваться независимо друг от друга. Простейшие уравнения в установившемся ре­жиме получаются из схем замещения элек­трических машин и упрощенных уравнений, на базе которых строятся векторные диа­граммы. Круговое поле в воздушном зазоре может быть только в идеализированной маши­не. В воздушном зазоре реальной электриче­ской машины имеется бесконечный произ­вольный спектр гармоник поля, состоящий из временных и пространственных гармоник. Высшие гармоники в воздушном зазоре ма­шины появляются за счет несинусоидаль­ности напряжений, несинусоидального рас­пределения МДС, неравномерности зазора, насыщения и других причин.