Задачи для индивидуальной работы к теме 1

Пример 1

Вычислить собственную концентрацию носителей заряда в кремнии при Т=300 К, если ширина запрещенной зоны , а эффективные массы электронов и дырок соответственно составляют ; , где –масса свободного электрона.

Решение

Концентрация собственных носителей заряда определяется по формуле

Эффективная плотность состояний для электронов в зоне проводимости

Эффективная плотность состояний для дырок в валентной зоне

Отсюда следует, что собственная концентрация носителей заряда составит

Пример 2

Найти положение уровня Ферми в собственном германии при 300 K, если известно, что ширина запрещенной зоны эВ, а эффективные массы для электронов и дырок соответственно составляют: , .

Решение

Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике определяется выражением

Таким образом,

Пример 3

Найти долю свободных электронов в металле при T=0 K, кинетическая энергия которых больше половины максимальной.

Решение

Максимальная кинетическая энергия, которой могут обладать электроны в металле при T=0 K соответствует энергии уровня Ферми. Положение уровня Ферми в данном проводнике, согласно (5), определяется имеющимся количеством свободных электронов :

Число электронов в металле n(E_F/2), энергия которых меньше чем E_F/2:

Следовательно, число электронов в металле, у которых энергия больше чем /2, будет равно . Тогда долю свободных электронов в металле при T=0 К, кинетическая энергия которых больше половины максимальной, можно определить как

1. Определить положение уровня Ферми при Т=300 К в кристалле германия, легированном мышьяком до концентрации 10²³м^-3.

2. Вычислить энергию уровня Ферми, концентрацию носителей заряда и собственную проводимость германия при Т=300 К, если эффективные массы электронов и дырок соответственно равны: m₀^*=0.12m₀; m₀^*=0.2m₀, ширина запрещенной зоны Eg=0.72 эВ, а подвижности m_n=0.39 м²/В×с; m_р=0.19 м²/В×с.

3. Кристалл арсенида индия легирован серой так, что избыточная концентрация доноров Nd=Na=10²⁸м^-3. Можно ли считать, что при температуре Т=300 К электрические параметры этого полупроводника близки параметрам собственного арсенида индия, еслиэффективные массы электронов m_n^*=0.023m₀; дырок m_p^*=0.43m₀? Ширина запрещенной зоны (эВ) InAs изменяется по закону 0,462-3,5×10⁴×Т.

4. При комнатной температуре в германии ширина запрещенной зоны Eg=0,665 эВ, а собственная концентрация носителей заряда n=2,1×10¹⁹м^-3. Во сколько раз изменится собственная концентрация n_i, если температуру повысить до 200⁰C? Эффективные массы электронов и дырок соответственно равны: m_n^*=0.55m₀; дырок m_p^*=0.388m₀. Коэффициент температурного изменения ширины запрещенной зоны b=3.9×10^-4эВ/К.

5. Определить, как изменится концентрация дырок в германии, содержащем мелкие доноры в концентрации N_d=10²²м^-3, при его нагревании от 300 до 400 К. При расчете использовать данные предыдущей задачи.

6. Вычислить положение уровня Ферми при Т=300 К в кристаллах германия, содержащих 2×10²³м^-3 атомов мышьяка и 10²² м^-3 атомов бора.

7. Определите положение уровня Ферми в германии n-типа при Т=300 К, если на 1×10⁶ атомов германия приходится 1 атом примеси. Концентрация атомов в германии 4,4×10²⁸ атомов/м³. Ширина запрещенной зоны 0,72 эВ. Донорный примесный уровень расположен на 0,01 В ниже дна зоны проводимости, a m*=l,0005×m₀.

8. В собственном германии ширина запрещенной зоны при температуре 300 К равна 0,665 эВ. Насколько надо повысить температуру, чтобы число электронов в зоне проводимости увеличилось в 2 раза?

9. Вычислить собственную концентрацию носителей заряда в арсениде галлия при 300 и 500 К, если эффективные плотности состояний m_n*=0,067m₀ и m_p*=0,48m₀, а температурное изменение ширины запрещенной зоны подчиняется уравнению DЕ(Т)=1,522-5,8×10^-4T²/(T+300).

10. Определить положение уровня Ферми в кристалле арсенида галлия, легированного цинком до концентрации 10¹⁴ атомов/м³, при температуре: а) 300 К; б) 400 К. Считать, что при комнатной температуре все атомы ионизированы.

11. Время жизни носителей заряда в полупроводнике n-типа со шлифованной поверхностью t=78 мкс, а у образца, поверхность которого протравлена кислотой, t=340 мкс. Найти диффузионную длину электрона при Т=300 К в обоих образцах, если подвижность m_n=0,36 м²/В×с.

12. В полупроводниковом кристалле образовалась избыточная концентрация носителей заряда 10² атомов/м³. Начальная скорость уменьшения концентрации
5×10² м^–3/с. Определить время жизни неравновесных носителей заряда и значение избыточной концентрации носителей через 2 мс после прекращения внешнего возбуждения.

13. Определить время жизни t электронно-дырочных пар, если в момент времени t₁=10^–4 c после выключения генерации концентрация неравновесных носителей оказалась в 10 раз больше, чем в момент времени t₂=10^–3c.

14. Определить диффузионную длину дырок, если концентрация неравновесных носителей на расстоянии х₁=2 мм от точки генерации равна Dр₁=10²⁰м^-3, а на расстоянии х₂=4,3мм равна Dр₂=10¹⁹ м^-3.

15. Вычислить энергию уровня Ферми, концентрацию носителей заряда и собственную проводимость германия при Т=300 К, если m_n^*=0,12×m₀; дырок m_p^*=0,2×m₀; E_g=0,75 эВ; m_n=0,39 м²/В×с; m_р=0,19 м²/В×с.

16. Оценить долю электронов в меди, которые при ее нагревании до 100⁰C выйдут за пределы уровня Ферми (Е_F=7 эВ).

17. Определить время жизни t электронно-дырочных пар, если в момент времени t₁=10^-5 с после выключения внешнего источника неравновесная концентрация носителей оказалась в 100 раз больше, чем в момент времени t₂=10^-3 с.

18. Концентрация доноров в полупроводнике равна 10²²м^-3. При некоторой температуре уровень Ферми совпадает с уровнем примеси. Какова концентрация электронов проводимости в полупроводнике при этой температуре?

19. Найти время жизни неравновесных носителей заряда t в полупроводнике, если их стационарная концентрация при воздействии источника возбуждения составляет
10²⁰м^-3, а начальная скорость уменьшения этой концентрации при отключении источника возбуждения равна 7,1 ²³м^-3с^-1. Определить избыточную концентрацию через t=2мс после отключения источника возбуждения.

20. В некоторой точке однородного электронного полупроводника световым зондом генерируются пары носителей. Определить диффузионную длину электронов, если концентрация неравновесных носителей на расстоянии х₁=4 мм от зонда равна n₁=10²²м^-3, а на расстоянии х₂=6,3 мм, n₂=10²⁰м^-3.

21. На одной стороне образца германия n-типа имеется инжектирующий контакт. При некотором напряжении смещения концентрация дырок у контакта увеличивается до 10²⁶м^-3. Удельное сопротивление образца ρ=2×10^-2 Ом×м, время жизни носителей τ=10^-4с, подвижности электронов m_n=0,36 м²/В×с и дырок m_р=0,17 м²/В×с, концентрация собственных носителей 1,3×10¹⁹м^-3. Вычислить: а) отношение концентрации основных и неосновных носителей тока; б) диффузионную длину для дырок; в) плотность дырочного тока.

22. Определить минимальную длину волны де Бройля для свободных электронов при Т≈0 К в золоте, имеющем решетку ГЦК а=4,08 ангстрем, если па каждый атом кристалла приходится один свободный электрон.

23. Кристалл цезия имеет энергию Ферми, равную 1,5 эВ. Найти отношение дебройлевской длины волны ферми-электронов в кристалле к среднему расстоянию между свободными электронами.

24. Определить отношение концентраций свободных электронов при T=0 K в литии и цезии, если известно, что уровни Ферми в этих металлах равны Е_F1=4,72 эВ, Е_F2=1,53 эВ.

25. Определить число электронов, которое приходится на один атом натрия при T=0 K. Уровень Ферми для натрия Е_F1=3,12 эВ. Плотность натрия ρ=970 кг/м³, молярная масса М=22,909 г/моль.

26. Во сколько раз число свободных электронов, приходящихся на один атом металла при T=0 K больше в алюминии, чем в меди, если уровни Ферми соответственно равны Е_F1=11,7 эВ, Е_F2=7,0 эВ?

27. Металл находится при T=0 K. Определить, во сколько раз число электронов с кинетической энергией от Е_F/2 до Е_F больше числа электронов с энергией от 0 до Е_F/2?

28. Образец кремния n-типа при T=300 K имеет удельное сопротивление 5 Ом×см, подвижность электронов m_n=0,16 м²/В×с, подвижность дырок m_р=0,06 м²/В×с, концентрация собственных носителей 1,4×10¹⁰м^-3, эффективное число состояний в зоне проводимости 10¹⁹ м^-1. Определить: а) концентрацию электронов и дырок; б) положение уровня Ферми; в) вероятность того, что донорный уровень заполнен, если Е_с–Е_d=50 мэВ.

29. Определить относительное число свободных электронов (ΔN/N) в металле при T=0 K, кинетическая энергия которых отличается от энергии Ферми не более чем на 2%.

30. Концентрация электронов в собственном полупроводнике при T=400 K равна 1,38×10²¹м^-3. Найти произведение эффективных масс электрона и дырки, если известно, что ширина запрещенной зоны определяется как Е_g=0,785-4×10^-4×T(эВ).

31. Определить положение уровня Ферми при Т=300 К в кристалле кремния, легированном мышьяком до концентрации 10¹⁸м^-3.

32. Вычислить положение уровня Ферми при Т=300 К в кристаллах кремния, содержащих 2×10¹⁹м^-3 атомов мышьяка и 10²⁰ м^-3 атомов бора.

33. Определить избыточную концентрацию неравновесных носителей заряда через 0,22 мс после отключения источника возбуждения в полупроводнике, если их стационарная концентрация при воздействии источника возбуждения составляет
2,3×10²⁰м^-3, а начальная скорость уменьшения этой концентрации при отключении источника возбуждения равна 9,4 ²³м^-3с^-1_.

34. Вычислить энергию уровня Ферми, концентрацию носителей заряда и собственную проводимость кремния при Т=300 К, если m_n^*=0,3×m₀; дырок m_p^*=0,45×m₀; E_g=1,12 эВ; m_n=1450 см²/В×с; m_р=480 см²/В×с.

35. Вычислить собственную концентрацию носителей заряда в антимониде индия при 200 и 300 К, если эффективные плотности состояний m_n*=0,081m₀ и m_p*=0,62m₀, а температурное изменение ширины запрещенной зоны подчиняется уравнению DЕ(Т)=0,12-3,28×10^-5T²/(T+221).

36. Определить диффузионную длину дырок, если концентрация неравновесных носителей на расстоянии х₁=0,2 мм от точки генерации равна Dр₁=10²⁴м^-3, а на расстоянии х₂=1,3мм равна Dр₂=10²¹ м^-3.

37. Образец InSb n-типа при T=300 K имеет удельное сопротивление 3 Ом×см, подвижность электронов m_n=8,7 м²/В×с, подвижность дырок m_р=0,02´m_n, концентрация собственных носителей 5×10¹²м^-3, эффективное число состояний в зоне проводимости 10¹⁹ м^-1. Определить: а) концентрацию электронов и дырок; б) положение уровня Ферми; в) вероятность того, что донорный уровень заполнен, если Е_с–Е_d=20 мэВ.

38. Найти время жизни неравновесных носителей заряда t в полупроводнике, если их стационарная концентрация при воздействии источника возбуждения составляет
5´10¹⁸м^-3, а начальная скорость уменьшения этой концентрации при отключении источника возбуждения равна 7,1·10²³м^-3с^-1. Определить избыточную концентрацию через t=5 мс после отключения источника возбуждения.

39. Вычислить положение уровня Ферми при комнатной температуре в кристаллах арсенида галлия, содержащих 2×10²³м^-3 атомов фосфора и 10²² м^-3 атомов алюминия.

40. Вычислить энергию уровня Ферми, концентрацию носителей заряда и собственную проводимость антимонида индия при Т=300 К, если эффективные массы электронов и дырок соответственно равны: m_е^*=0.12·m₀; m_р^*=0.2·m₀, ширина запрещенной зоны Eg=0.17 эВ, а подвижности m_n=7.2 м²/В×с; m_р=0.12 м²/В×с.

41. Через 1 см² кристалла проходит 10⁶ прямолинейных краевых дислокаций. На какое расстояние переползет каждая дислокация, если нагреть кристалл от 0 до 1000°К? Принять Eg =1 эВ, а=2Å.

42. Вычислить положение уровня Ферми в германии при 300°К и следующих концентрациях примесей: а) 10²³ атомов In на 1 м³; б) 10²² атомов Sb на 1 м³;в) 10¹² атомов In+10²² атомов Sb на 1 м³.

43. Во сколько раз число свободных электронов, приходящихся на один атом металла при T=0 K меньше в индии, чем в серебре, если уровни Ферми соответственно равны Е_F1=3,0 эВ, Е_F2=6,8 эВ?

Теоретические вопросы к теме 1

1. Описать механизмы образования носителей заряда в полупроводниках (примесных и собственных) и металлах. Показать их на энергетических диаграммах.

2. Получить формулу для определения плотности электронных состояний N(E).

3. Как зависит плотность электронных состояний в разрешенных зонах от энергии электрона? Привести графики зависимости N(E) для полупроводника и металла.

4. Зависит ли средняя энергия свободных электронов в металле от числа aтомов в кристалле? Если да, то как?

5. Привести формулы для определения концентрации носителей заряда в полупроводниках, когда известно положение уровня Ферми. Объяснить физический смысл входящих в них величин.

6. Получить выражения для вычисления собственной концентрации ностелей заряда n_i в полупроводнике и определения его уровня Ферми Е_F.

7. Привести формулы для вычисления концентрации носителей n и p в примесных полупроводниках с энергией активации примесей E_d и E_a соответственно. Объяснить физический смысл входящих в них величин.

8. Привести зависимость Е_F(T) в донорном полупроводнике. Объяснить.

9. Привести зависимость Е_F(T) в акцепторном полупроводнике. Дать соответствующие объяснения.

10. Описать механизмы образования носителей заряда в компенсированных полупроводниках. Показать их на энергетических диаграммах.

11. Где расположен Е_F в полностью компенсированном полупроводнике? Привести энергетическую диаграмму.

12. Дать определение и описать основные свойства вырожденных полупроводников.

13. Где расположен Е_F в вырожденном полупроводнике? Привести рисунок.

14. Как зависит от температуры концентрация носителей в легированном полупроводнике? Привести зависимость ln (n(T)). Дать объяснения.

15. Привести зависимость концентрации носителей заряда в проводниках от температуры. Дать ей объяснения.

16. Как и почему изменяется местоположение уровня Ферми в полупроводнике при увеличении температуры?

17. Как изменяется энергия носителей заряда в полупроводниках и металлах с увеличением температуры?

18. Какой физический смысл имеют коэффициенты Nc и Nv в формулах (11) и (13)?

19. Дать определения процессам генерации и рекомбинации. Какие факторы определяют скорости генерации и рекомбинации носителей заряда?

20. Описать основные механизмы рекомбинации.

21. Почему в обычных полупроводниках межзонная рекомбинация, как излучательная, так и безизлучательная, маловероятны?

22. Описать процессы фотонной и фононной рекомбинаций. При каких условиях фотонная рекомбинация в полупроводниках преобладает?

23. Описать механизмы рекомбинации через локальные уровни ловушек (теория Холла, Шокли, Рида).

24. Как влияет положение энергетического уровня примесного атома в запрещенной зоне полупроводника на вероятность генерации и рекомбинации носителей заряда в нем?

25. В чем различие между равновесными и неравновесными носителями заряда в полупроводнике? Дать определение процессам инжекции и экстракции.

26. Время жизни каких носителей заряда (основных или неосновных) определяет концентрацию неравновесных носителей. Объяснить почему.

27. Получить формулу, описывающую уменьшение концентрации неравновесных носителей с течением времени Δn(t) после прекращения внешнего воздействия.

28. Описать процессы токопереноса при наличии в объеме полупроводника градиента концентрации. Что описывают законы Фика? Привести их физический смысл.

29. Какой физический смысл имеют следующие характеристики: время жизни неравновесных носителей заряда t; диффузионная длина электронов l_n; коэффициент диффузии электронов D_n?

30. До каких пор будет происходить увеличение избыточной концентрации носителей заряда в полупроводнике под действием периодических прямоугольных импульсов света? Какие параметры световых импульсов и как будут влиять на величину Δn?

31. Описать основные методы измерения времени жизни неосновных носителей в полупроводниках.

32. Вырожденные и невырожденные системы. Уровень Ферми. Химический потенциал. Функции распределения Максвелла–Больцмана.

33. Вырожденные и невырожденные системы. Фермионы и бозоны. Функции распределения Ферми–Дирака. Функции распределения Бозе–Эйнштейна. Условие невырожденности.

34. Электропроводность полупроводников. Концентрация носителей заряда.

35. Подвижность носителей заряда. Рассеяние носителей.

36. Тепловые колебания решетки. Акустические и оптические колебания решетки. Температура Дебая.

37. Предположим, что алюминиевый образец быстро охлажден от температуры, близкой к точке плавления, и все вакансии, имевшиеся при высокой температуре, сохранились при комнатной температуре. Количество вакансий при комнатной температуре превышает их равновесное количество, соответствующее комнатной температуре. Допустим, что вакансии «отжигаются» с течением времени, и в итоге достигается концентрация, равновесная при комнатной температуре. Если отжиг происходит адиабатически, будет ли нагреваться или охлаждаться твердое тело? Если будет, то насколько?

38. Образование или исчезновение вакансий в твердом теле вызывает изменение его плотности. Будет ли повышаться или уменьшаться плотность алюминия (задача 37) в процессе отжига при комнатной температуре? Можно ли измерить это изменение с помощью существующей экспериментальной техники?

39. У каких плоскостей в структурах ГЦК и ОЦК наибольшая плотность упаковки атомов? В каких направлениях в этих плоскостях линейная плотность расположения атомов максимальна?

40. Доказать, что кинетическая энергия атома, совершающего простые гармонические колебания, в среднем (за один период) равна половине общей энергии.

41. Решетку алмаза можно рассматривать как комбинацию двух вставленных друг в друга подрешеток со структурой ГЦК. У одной подрешетки начало координат лежит в точке [0 0 0] а у другой оно сдвинуто вдоль диагонали куба на четверть ее длины. Записать координаты всех атомов этой элементарной ячейки. Сколько атомов входит в эту элементарную ячейку? Привести поясняющие рисунки.

42. Описать основные механизмы рекомбинации. Привести поясняющие зонные диаграммы.

43. Привести формулы для вычисления концентрации носителей n и p в примесных полупроводниках с энергией активации примесей E_d и E_a соответственно. Объяснить физический смысл входящих в них величин.