Определение передаточных функций систем управления в

Общем виде

Из цепи звеньев любой сложности, показанной на рис. 1.7 одним прямоугольником с передаточной функцией , получается замкнутая система при помощи единичной отрицательной обратной связи. Эту отрицательную обратную связь называют главной, в отличие от местных обратных связей. Пусть имеются внешние воздействия: g(t) – задающее и f(t) – возмущающее.

Рис. 1.7

На выходе схемы имеем , но

,

тогда .

Основные соотношения в изображениях по Лапласу будут иметь вид:

; (1.1)

. (1.2)

При расчетах автоматических систем применяются три основных вида передаточных функций замкнутой системы.

1. Главная передаточная замкнутой системы

.

Из формул (1.1) и (1.2) при имеем: ,

откуда .

2. Передаточная функция замкнутой системы для ошибки

По формуле (1.1) получаем

отсюда , т. к. .

3. Передаточная функция по возмущающему воздействию

.

Из формул (1.1) и (1.2) при имеем

.

В общем случае передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

,

где − общий коэффициент усиления разомкнутой системы;

и − операторные многочлены с единичными коэффициентами при младших членах.

Если известны передаточные функции и , то легко получить из них дифференциальное уравнение.

Для замкнутой системы имеем

,

откуда .

Переходя от изображений к оригиналам, получим дифференциальное уравнение замкнутой системы для регулируемой величины в виде

,

где − оператор дифференцирования.

Пример

Записать дифференциальное уравнение, если передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

.

Запишем уравнение в операторной форме

Переходя от изображений к оригиналам, получим дифференциальное уравнение в виде:

.

(Практически в уравнении в операторной форме необходимо заменить на ).

Для получения характеристического уравнения замкнутой системы нужно приравнять нулю знаменатели передаточных функций .