Интегрирование заменой переменной (подстановкой)

Пусть функция определена и дифференцируема на некотором множестве , и пусть множество всех значений этой функции. Пусть далее для функции существует на множестве первообразная функция , т. е. . Тогда всюду на множестве для функции существует первообразная функция, равная , т. е.

.

Пусть нам требуется вычислить интеграл и можно выбрать в качестве новой переменной функцию так, что , причем легко интегрируется т.е.:

и – этот прием вычисления называется интегрированием путем замены переменной.

Интегрирование по частям

Пусть каждая из функций и дифференцируема на множестве и, кроме того, на этом множестве существует первообразная для функции . Тогда на множестве существует первообразная и для функции , причем справедлива формула

.