Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Действия над матрицами.





Содержание

Пояснительная записка 3

1. Лекция № 1. Матрицы. Действия с матрицами 4

2. Лекция № 2. Определители 9

3. Лекция № 3. Нахождение обратной матрицы 14

4. Лекция № 4. Системы линейных уравнений 19

5. Лекция № 5. Прямая линия на плоскости 25

6. Лекция № 6. Кривые второго порядка 33

7. Лекция № 7. Комплексные числа 41

8. Лекция № 8. Предел функции 50

9. Лекция № 9. Непрерывность функции и ее разрывы 62

10. Литература 71


Лекция № 1. Матрицы. Действия с матрицами.

Основные понятия.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая т строк одинаковой длины(или п столбцов одинаковой длины). Матрица записывается виде:

или, сокращённо, А = (аi j), где i =1, т (т.е. i = 1,2,3,…, т) – номер строки, j = 1, п (т.е. j = 1,2,3,…, п) – номер столбца.

Матрица А называют матрицей размера т х п и пишут А т х п . Числа ai j,составляющие матрицу называются её элементами. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего левого угла, образуют главную диагональ.

Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т.е.

A = B, если ai ­j = bi j , где i = 1, m, j = 1, n.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера п х п называют матрицей п -го порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е.

Пример 1.1

единичная матрица 3-го порядка.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой О. Имеет вид:

В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка соответственно). Их вид:

Матрица размера 1 х 1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т.е. (5)1х1 есть 5.

Матрица, полученная из данной заменой каждой её строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается АТ.

Транспонированная матрица обладает следующим свойством: (АТ) = А.

 

Действия над матрицами.

Сложение:

Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц А т х п = (ai j) и В т х п = (bi j) называется матрица С m x n = (ci j) такая, что сij = аi j + bi j (i = 1,m, j = 1,n). Записывают С = А + В.

 

Пример 1.2.

 

Аналогично определяется разность матриц.

Умножение на число:

Произведением матрицы Ат х п = (аi j) на число k называется матрица В т х п = (b i j) такая, что bi j = k*ai j (i = 1,m, j = 1,n). Записывают В = k * A.

Пример 1.3.

 

Матрица – А = (-1) * А называется противоположной матрице А.

Разность матриц А – В можно определить так: А – В = А + (-В).

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

1. А + В = В + А; 5. 1 * А = А;

2. А + (В + С) = (А + В) + С; 6. α* (А + В) = αА + αВ;

3. А + О = А; 7. (α + β) * А = αА + βВ;

4. А – А = О; 8.α * (βА) = (αβ) * А,

Где А, В, С – матрицы, α и β – числа.

Элементарные преобразования матриц:

Элементарными преобразованиями матриц являются:

· Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;

· Умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;

· Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А ~ В.

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической, например

 

 

Пример 1.4. Привести к каноническому виду матрицу

 

Решение: Выполняя элементарные преобразования, получаем

Произведение матриц:

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

 

Произведением матрицы А т х п = (аi j) на матрицу В п х р = (bj k) называется матрица С т х р = (сj k) такая, что c ik = ai1* b1k + ai2 * b2k + …+ ainbnk, где i = 1,m, k = 1,p,

Т.е элемент i-й строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В. Получение элемента сij схематично изображается так

● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● i ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ●

 

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А * Е = Е * А = А, где А – квадратная матрица, Е – единичная матрица того же размера.

 

Пример 1.5

Пример 1.6. . Тогда произведение А * В не определено,так как число столбцов матрицы А(3) не совпадает с числом строк матрицы В(2). При этом определено произведение В х А, которое считают следующим образом:

Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ = ВА.

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

1. А * (В*С) = (А*В) * С; 3. (А + В) * С = АС + ВС;

2. А * (В+С) = АВ + АС; 4. α(АВ) = (αА)В,

Если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют смысл.

Для операции транспонирования верны свойства:

1. (А + В)Т = АТ + ВТ; 2. (АВ)Т = ВТ * АТ.


Date: 2016-07-25; view: 322; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.006 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию