Сложное сопротивление.

2.4.1 Косой изгиб. Под косым изгибом, понимается такой случай изгиба, при котором плоскость изгибающего момента не совпадает с главной осью сечения. Косой изгиб удобнее всего рассматривать как одновременный изгиб в двух плоскостях zx и zy (рис.2.14). Для этого изгибающий момент М_изг раскладывается на составляющие моменты относительно осей х и у:

, .

Нормальное напряжение в точке, имеющей координаты х и у, определяется суммой напряжений, обусловленных моментами М_х и М_у, т.е.

, (2.4.1)

или

.

Следовательно, если в каждой точке сечения отложить по нормали вектор σ, то концы векторов, как и при простом изгибе, образуют плоскость. Уравнение нейтральной линии в сечении найдем, полагая σ = 0:

. (2.4.2)

Легко установить, что при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна к плоскости изгибающего момента. Действительно, угловой коэффициент k₁ следа плоскости момента (рис.2.14, б) представляет собой тангенс угла α:

.

Рисунок 2.14

Угловой же коэффициент нейтральной линии равен

.

Так как в общем случае , то условие перпендикулярности прямых, известное из аналитической геометрии, не соблюдается, поскольку . Стержень изгибается не в плоскости изгибающего момента, а в некоторой другой плоскости, где жесткость на изгиб будет меньше. Поэтому нейтральная линия не перпендикулярна плоскости момента, а несколько повернута в сторону оси минимального момента инерции (рис.2.14, б).

Так как эпюра нормальных напряжений в сечении линейна, то максимальное напряжение возникает в точке, наиболее удаленной от нейтральной линии. Пусть координаты этой точки будут х₁, у₁. Тогда из выражения (2.4.1) получаем

. (2.4.3)

При помощи линейки и угольника определяется точка, наиболее удаленная от нейтральной линии, а ее координаты х₁ и у₁ снимаются непосредственно с чертежа.

2.4.2 Внецентренное растяжение–сжатие. При внецентренном растяжении равнодействующая внешних сил не совпадает с осью стержня, как при обычном растяжении, а смещена относительно оси z и остается ей параллельной (рис.2.15).

Пусть точка А приложения равнодействующей внеш­них сил имеет в сечении координаты х₀ и у₀ (рис.2.15). Тогда, относительно главных осей равнодействующая сила Р дает моменты

и .

Таким образом, внецентренное растяжение — сжатие оказывается родственным косому изгибу. В отличие от по­следнего, однако, при внецентренном растяжениив поперечном сечении стержня возникают не только изгибающие моменты, но и нормальная сила N=P.

В произвольной точке В с коорди­натами х, у нормальное напряжение s определяется следующим выраже­нием:

. (2.4.4)

Пространственная эпюра напряжений образует плоскость. Уравнение ней­тральной линии получаем, прирав­нивая s нулю:

. (2.4.5)

Наибольшие напряжения, как и при косом изгибе, имеют место в точке с координатами x₁, у₁, наиболее удален­ной от нейтральной линии:

Рисунок 2.15 .

При внецентренном растяжении - сжатии в отличие от косого изгиба нейтральная линия не проходит через центр тяже­сти сечения. При положительных х₀ и у₀ по крайней мере одна из величин х и у, входящих, в уравнение (2.4.5), должна быть отрицательной. Следовательно, если точка приложения силы Р находится в первой четверти, то нейтральная линия проходит с противоположной стороны центра тяжести через четверти 2, 3 и 4 (рис.2.18).

Условие прочности при внецентренном растяжении – сжатии имеет следующий вид:

σ_max ≤[σ].

Расстояние от начала координат до некоторой прямой

,

как известно из курса аналитической геометрии, равно

.

В данном случае (рис.2.16)

. (2.4.6)

Следовательно, по мере того как точка приложения силы приближается к центру тяжести сечения, нейтральная ли­ния удаляется от него.

В пределе при , когда сила Р приложена в цент­ре тяжести, нейтральная линия находится в бесконечности. Напряжения в этом случае распреде лены по сечению равномерно. По мере того как точка приложения силы уда­ляется от центра тяжести, отрезок ОС уменьшается и нейтральная линия, следовательно, приближается к цент­ру тяжести.

Из сказанного следует, что при внецентренном растяжении и сжатии нейтральная линия может, как пере­секать сечение, так и находиться за его пределами. В первом случае в се­чении возникают и растягивающие, и сжимающие напряжения. Во втором случае напряжения во всех точках сечения будут одного знака.

Затронутый вопрос имеет значение, например, для расчета сжатых

Рисунок 2.16 кирпичных колонн. Кирпичная кладка пло­хо сопротивляется растяжению. Поэтому желательно, чтобы напряжения при внецентренном сжатии были для всего се­чения сжимающими, и чтобы нейтральная линия проходила за пределами сечения. Для этого нужно внешнюю силу при­кладывать достаточно близко к центру тяжести.

В окрестности центра тяжести существует область, на­зываемая ядром сечения. Если след силы Р находится внутри ядра сечения, напряжения во всех точках сечения будут одного знака. Если сила приложена за пределами ядра се­чения, нейтральная линия пересекает сечение, и напряже­ния в сечении будут как сжимающими, так и растягиваю­щими. Когда точка приложения силы находится на границе ядра, нейтральная линия касается контура сечения. Чтобы определить ядро сечения, надо представить себе, что ней­тральная линия обкатывается вокруг сечения. Точка при­ложения силы вычертит при этом контуры ядра.

Основная литература 1[гл.4, §§35-36, стр.173-180]

Дополнительная литература 7, 18.

Контрольные вопросы:

1. Какой вид нагружения называется косым изгибом?

2. Напишите формулу, по которой вычисляются нормальные напряжения при косом изгибе.

3. Как записывается уравнение нейтральной линии сечения при косом изгибе?

4. Какой вид нагружения называется внецентренным растяжением – сжатием?

5. Напишите формулу, по которой вычисляются нормальные напряжения при внецентренном растяжении – сжатии.

6. Как записывается уравнение нейтральной линии сечения при внецентренном растяжении – сжатии?

7. В каких точках сечения возникают наибольшие нормальные напряжения?