Вывод формулы тонкой линзы

Рассмотрим узкий гомоцентрический конус лучей.

– угол мал

, – пучок параксиальный (приосевой) (1)

Будем считать расстояния, отсчитываемые от поверхности влево – отрицательными, а от вправо – положительными.

Из по теореме синусов, получаем

,

. (2)

Из следует

. (3)

Уравнение (2) умножим на уравнение (3):

, (4)

.

Следовательно

. (5)

Введем следующие обозначения , , (6)

(7)

,

,

следовательно

. (8)

(9)

, (10)

следовательно произведение и называется нулевым инвариантом Аббе.

Пользуясь правилом знаков

а) – поверхность выпуклая а) b)

(11)

b) – поверхность вогнутая

Применим (9) для сферического зеркала:

, ,

так как или

после отражения равно (или ), то

.

Следовательно

(13)

(14)

Если , тогда от поверхности . Это расстояние называется фокусным расстоянием.

При , тогда

. (18)

где и зависят только от , и . Следовательно, и для заданных , и являются постоянными.

Для тонкой линзы с и

Для поверхности :

(для левой) (19)

Для поверхности :

(для правой) (20)

или .

Обозначая , получаем

(21)

Частные случаи:

1) Симметричная линза

и (22)

.

2) Линза в воздухе

,

следовательно

(23)

Если лучи не близкие к оси системы, то погрешности превышают аберрации оптической системы.

О – центр, F – фокус

,

– продольная аберрация, – поперечная аберрация

, следовательно

, (24)

так как .

Формирование изображения предмета, имеющего конечные размеры, сферической поверхностью раздела двух сред с показателями преломления и .

и

и

,

,

следовательно

, .

Тогда

и ,

следовательно

или

– теорема Лагранжа-Гельгмгольца

Для сред

(25)

Применительно к зеркалу, то есть из этой теоремы получаем

следовательно

. (26)

Если и имеют одинаковые знаки, то есть изображение находится перед зеркалом, следовательно – действительное, то отношение – отрицательное; изображение перевернуто по отношению к предмету.

Если изображение мнимое, то есть – отрицательное, то и имеют одинаковые знаки; изображение – прямое.