Тема лекции 1 Введение. Дифференциальное уравнение изогнутой линии балки. Перемещения при изгибе.

Конспект лекции

1.1 Основные понятия прочности и надежности машин.

1.1.1 Задачи курсапрочности и надежности машин. Различные сооружения и машины, проектированием и строи­тельством которых занимается инженер в своей практической деятельности, помимо других качеств должны обязательно обла­дать прочностью, т. е. способностью сопротивляться разруше­нию под действием приложенных к ним внешних сил (нагрузок).

Изложение методов расчета элементов конструкций на про­чность и составляет первую задачу курса сопротивления мате­риалов.

Во многих случаях приходится определять те изменения формы и размеров (деформации), которые возникают в эле­ментах конструкций при действии нагрузок.

Способность элемента конструкции сопротивляться дефор­мации называется жесткостью.

Отсюда вторая задача курса: изложение методов расчета элементов конструкций на жесткость.

Третья задача сопротивления материалов связана с изучением устойчивости форм равновесия реальных (т. е. деформирую­щихся) тел.

Под устойчивостью понимают способность элемента сопро­тивляться возникновению больших отклонений от невозмущен­ного равновесия при малых возмущающих воздействиях.

Признаком потери устойчивости является внезапная смена одной формы равновесия другой.

При выполнении указанных видов расчета необходимо стре­миться к максимальной экономии материалов, т. е. к достаточным, но не завышенным размерам деталей машин и сооружений.

1.1.2 Внутренние силы. Метод сечений. Внутренние силы (силы упругости), возникающие в теле под действием нагрузки, - силы непрерывно распределенные (в соответствии с принятым допущением о непрерывности материала тела).

Для определения внутренних усилий (или внутренних силовых факторов) применяется метод сечений, заключающийся в следующем.

Для тела, находящегося в равновесии (рис.1.1), в интересующем нас месте мысленно делается разрез, например по а – а затем одна из частей отбрасывается (обычно та, к которой приложено больше сил). Взаимодействие частей друг на друга заменяется внутренними усилиями, которые уравновешивают внешние силы, действующие на отсеченную часть.

В общем случае могут возникать шесть внутренних усилий, являющихся компонентами главного вектора и главного момента системы внутренних сил (рис. 1.1); продольная сила, N, поперечная сила Q_х, поперечная сила Q_у и три момента: М_х, М_у и М , причем первые два являются изгибающими, а третий М ,действующий в плоскости сечения, называется крутящим М_кр, так как он возникает при закручивании стержня. Для определения этих шести усилий необходимо использовать шесть уравнений равновесия: приравнять нулю суммы проекций сил (приложенных к отсеченной части) на три оси координат и приравнять нулю суммы моментов сил относительно трех осей, имеющих начало в центре тяжести сечения.

Итак, для нахождения внутренних усилий необходимо: 1) разрезать стержень или систему стержней; 2) отбросить одну часть; 3) приложить в сечении усилия, способные уравновесить внешние силы, действующие на отсеченную часть; 4) найти значения усилий из уравнений равновесия, составленных для отсеченной части.

1.2 Растяжение–сжатие. Центральным растяжением (или центральным сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила (растягивающая или сжимающая), а все остальные внутренние усилия равны нулю. Иногда центральное растяжение (или центральное сжатие) кратко называют растяжением (или сжатием).

1.2.1 Продольные силы и их эпюры. Растягивающие продольные силы принято считать положительными, а сжимающие — отрицательными.

На рис.1.4, a изображен брус, нагруженный си­лами P₁ и Р₂ направленными вдоль его оси, двумя силами Р₃; параллельными оси и приложенными на рав­ных расстояниях от нее в поперечном сечении с, а также двумя силами Р₄., направленными под углом к оси бруса и приложенными в поперечном сечении d на равных расстояниях от оси.

На рис.1.4,б изображена расчетная схема, полу­ченная путем замены бруса его осью и переноса внешних нагрузок к этой оси.

Силы Р₁ и Р₂ расчетной схеме действуют вдоль оси бруса; силы Р₃ силы Р₄ (рис.1.2, а) приводятся соответственно к силам 2Р₃ и 2Р₄cos , также направленным вдоль оси. Таким образом, на расчет­ной схеме (рис.1.2,б) все внешние силы действуют вдоль оси бруса. Следовательно, в поперечных сечениях рассматриваемого бруса возникают только продольные силы.

Определим в качестве примера продольную силу n₁ в сечении I—I (рис. 1.2,б). На рис.1.2, в, г показаны продольные силы n₁, действующие на левую (относительно сечения I—I) и на правую части бруса. Направления этих сил приняты в предположе­нии, что они являются растягивающими (т. е. поло­жительными). Если в результате расчета значение n₁ получается со знаком минус, то это означает, что в действительности брус в сечении I—I сжат.

Для определения силы n воспользуемся методом сечений. Составим уравнение равновесия в виде суммы проекций на ось бруса всех сил, действующих на левую его часть (рис.1.2, в):

откуда

Силы P₁ и 2Р₃ взяты со знаком плюс, потому что их направление совпадает с положительным направ­лением силы n₁, действующей на правую часть бруса.

Аналогично найдем продольные силы в сечениях II—II, III—III, IV—IV (рис. 1.2,б), проецируя силы, приложенные слева от этих сечений, на ось бруса:

N₁₁=Р₁; N₁₁₁=P₁- .

Очевидно, что на всем участке аЬ (между точками приложения сил Р₁ и Р₂) продольная сила постоянна и равна P₁; аналогично и на других участках (между точками приложения внешних сил) продольные силы имеют постоянные значения.

Построим график, показывающий изменение про­дольных сил по длине оси бруса, называемый эпюрой продольных сил (эпюрой N). Для этого проведем ось эпюры ае, параллельную оси бруса (рис 1.2, д), и перпендикулярно ей отложим ординаты, изображаю­щие в некотором масштабе значения продольных сил в поперечных сечениях бруса. Полученную таким путем эпюру принято штриховать (так же как и эпюры других внутренних усилий, рассматриваемые в последующих главах курса) прямыми линиями, пер­пендикулярными ее оси. Каждая такая линия в принятом масштабе дает значение продольной силы в соответствующем поперечном сечении бруса.

В поперечном сечении, в котором к брусу прило­жена сосредоточенная сила, не перпендикулярная его оси, значение продольной силы изменяется скачко­образно: слева от этого сечения продольная сила имеет одно, а справа – другое значение, отличаю­щееся на величину проекции (на ось бруса) указанной сосредоточенной силы. В соответствии с этим эпюра, изображенная на рис. 1.2,д, имеет скачки (уступы) в точках а, Ь, с, d, e, равные соответственно величинам и значению реакции опорного закрепления бруса.

1.2.2 Напряжения и деформации при растяжении-сжатии. Продольная сила N, возникающая в поперечном сечении бруса, представляет собой равнодействующую внутренних нормальных сил, распределенных по пло­щади поперечного сечения, и связана с возникающими в этом сечении нормальными напряжениями зависи­мостью:

, (1.2.1)

здесь —нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения, принадлежащей элемен­тарной площадке dA, причем во всех точках поперечного сечения = const; A—площадь поперечного се­чения бруса.

Произведение d.A== dN представляет собой эле­ментарную внутреннюю силу, приходящуюся на площадку dA. Таким образом,

(1.2.2)

откуда

(1.2.3)

Итак, в поперечных сечениях бруса при централь­ном растяжении или сжатии возникают равномерно распределенные нормальные напряжения, равные отно­шению продольной силы к площади поперечного сечения.

Рассмотрим теперь напряжения в наклонных сече­ниях бруса.

Обозначим угол между наклонным сечени­ем п—п₁ и поперечным сечением п—п₂ (рис. 1.3, а). Угол условимся считать положительным, когда поперечное сечение для совмещения с наклонным сечением надо повернуть на этот угол против часовой стрелки.

Рассмотрим нижнюю часть бруса, отсеченную сечением п—п₁ (рис. 1.3,б). Из условий ее равновесия следует, что полные напряжения р параллельны оси бруса и направлены в сторону, противоположную силе Р.

Значения и , получим из выражений

= р cos = cos² ; (1.2.4)

=р sin = sin cos = ( /2) sin 2 . (1.2.5)

Нормальное напряжение считается обычно поло­жительным при растяжении и отрицательным при сжатии. Касательное напряжение положительно, если изображающий его вектор стремится вращать тело относительно любой точки С, лежащей на внутренней нормали к сечению, по часовой стрелке. На рис. 1.3, в напряжения и положительные.

Рассмотрим прямой брус постоянного сечения длиной l, заделанный одним концом и нагруженный на другом конце растягивающей силой Р (рис. 1.4, а). Под действием силы Р брус удлиняется на неко- торую величину , которая называется полным (или абсо­лютным) удлинением (абсолютной продольной де­формацией). В любых точках рассматриваемого бруса имеется одинаковое напряженное состояние и, следовательно, линейные деформации для всех его точек одинаковы. Поэтому значение можно определить как отношение абсолютного удлинения к первона­чальной длине бруса l, т.е. / l.

Рисунок 1.3

Линейную деформацию при растяжении или сжатии брусьев называют обычно относительным удлинением (или относительной продольной деформацией) и обозна­чают .

Следовательно,

= (1.2.6)

Относительная продольная деформация выражает­ся в отвлеченных единицах. Деформацию удлинения условимся считать положительной (рис.1.4, а), а деформацию сжатия—отрицательной (рис. 1.4, б).

Чем больше сила, растягивающая брус, тем больше при прочих равных условиях удлинение бруса; чем больше площадь поперечного сечения бруса, тем удлинение бруса меньше. Брусья из различных мате­риалов

Рисунок 1.4 удлиняются различно. Для случаев, когда напряжения в брусе не превышают предела пропор­циональности, опытом установлена следующая зависимость:

. (1.2.7)

Здесь N—продольная сила в поперечных сечениях бруса; A—площадь поперечного сечения бруса; Е— коэффициент, зависящий от физических свойств ма­териала.

Учитывая, что нормальное напряжение в попереч­ном сечении бруса =N/А, получаем

, ( 1.2.8)

откуда

. (1.2.9)

Абсолютное удлинение бруса выражается фор­мулой

, (1.2.10)

т. е. абсолютная продольная деформация прямо пропорциональна продольной силе (при постоянных N и EA).

Впервые закон о прямой пропорциональности между силами и деформациями сформулировал Р. Гук (в 1660г.). Формулы (1.2.7)...(1.2.10) являются математическими выражениями закона Гука при растяжении и сжатии бруса. Более общей является следующая формулировка закона Гука: относитель­ная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению.

Рисунок 1.5

В такой формулировке закон Гука используется не только при изучении растяжения и сжатия брусьев, но и в других разделах курса.

Величина Е называется модулем упругости первого рода (сокращенно—модулем упругости). Это физическая постоянная материала, характеризующая его жесткость. Чем больше значение Е, тем меньше при прочих равных условиях продольная деформация. Из формулы (10) видно, что модуль упругости выра­жается в тех же единицах, что и напряжение, т. е. в Паскалях (Па).

Произведение EА называется жесткостью попе­речного сечения бруса при растяжении и сжатии. В приложении I приведены значения модулей упру­гости Е для различных материалов.

Формулой (12) можно пользоваться для вычис­ления абсолютной продольной деформации участка бруса длиной l лишь при условии, что сечение бруса в пределах этого участка постоянно и продольная сила N во всех поперечных сечениях одинакова.

Кроме продольной деформации при действии на брус сжимающей или растягивающей силы наблю­дается также поперечная деформация. При сжатии бруса поперечные размеры его увеличиваются, а при растяжении—уменьшаются. Если поперечный размер бруса до приложения к нему сжимающих сил Р обозначить b, а после приложения этих сил b+ b (рис. 1.5), то величина b будет обозначать абсолют­ную поперечную деформацию бруса. Отношение является относительной по­перечной деформацией.

Опыт показывает, что при напряжениях, не пре­вышающих предела упругости, относительная по­перечная деформация прямо пропорциональна относительной продольной деформации , но имеет обратный знак:

(1.2.11)

Коэффициент пропорциональности в формуле (1.2.11) зависит от материала бруса. Он называется коэффициентом поперечной деформации (или коэффи­циентом Пуассона) и представляет собой отношение относительной поперечной деформации к продоль­ной, взятое по абсолютной величине, т. е.

. (1.2.12)

Коэффициент Пуассона наряду с модулем упругости Е характеризует упругие свойства мате­риала.

Коэффициент Пуассона определяется эксперимен­тально. Для различных материалов он имеет значе­ния от нуля (для пробки) до величины, близкой к 0,50 (для резины и парафина). Для стали коэффициент Пуассона равен 0,25...0,30; для ряда других металлов (чугуна, цинка, бронзы, меди) он имеет значения от 0,23 до 0,36.

Основная литература 2[гл.1, §1,стр.4-15, §5,стр.15-22],3[гл.2, §2.1,стр.22-32],1[гл.1, §10,стр.42-44]

Дополнительная литература 7,9

Контрольные вопросы:

1. Основные задачи курса сопротивления материалов.
2. Какие силы называются внутренними, и перечислите их.
3. Как вычисляются напряжения в поперечных и наклонных сечениях бруса.
4. Как формулируется закон Гука при растяжении-сжатии?
5. Какие упругие постоянные материалов вы знаете?
6. Как вычисляется потенциальная энергия деформации при растяжении-сжатии?