Характеристики элементарных звеньев систем [1, 7, 8, 9].

Элементарными звеньями называются простейшие составные части (блоки) системы, поведение которых описывается алгебраическими уравнениями или дифференциальными уравнениями (1-2)-го порядков:

a₀ y"(t) + a₁ y'(t) + a₂ y(t) = b₀ u'(t) + b₁ u(t). (3.5.1)

Передаточная функция элементарного звена имеет вид:

W(p) = (b₀ u'(t) + b₁ u(t)) / (a₀ y"(t) + a₁ y'(t) + a₂ y(t)). (3.5.2)

Безынерционное (пропорциональное, усилительное) звено, для которого в любой момент времени выходная величина пропорциональна входной. И в статике, и в динамике описывается уравнением:

y(t) = k u(t).

Безинерционное звено передаст сигнал без искажения по форме и сдвига во времени, но измененный по амплитуде в k раз. Реальные звенья могут быть отнесены к данному типу условно, так как всегда обладают инерционностью. Однако если переходный процесс в элементах звена протекает за время, малое по сравнению с временем переходного процесса системы в целом, то эти элементы могут считаться безинерционными.

Рис. 3.5.1.

Динамический параметр k называют коэффициентом усиления. Переходная характеристика повторяет ступенчатое входное воздействие 1(t), измененное (увеличенное или уменьшенное) в k раз (рис. 3.5.1):

H(t) = k 1(t).

При k = 1 звено передает входной сигнал на выход, а при k = -1 инвертирует входной сигнал. Передаточная функция звена равна коэффициенту пропорциональности:

W(p) = k.

Функция веса представляет собой импульсную функцию, площадь которой равна k:

h(t) = k d(t).

Рис. 3.5.2.

Амплитудно-фазо-частотная характеристика АФЧХ: W(jw) = k. АЧХ: A(w) = k. ФЧХ: j(w) = 0. ЛАЧХ: L(w) = 20 lg k.

Звено пропускает все частоты одинаково c увеличением амплитуды в k раз и без сдвига по фазе (рис. 3.5.2).

Некоторые реальные звенья могут рассматриваться как безинерционные с определенной точностью (жесткий механический рычаг, механический редуктор, потенциометр, широкополосный электронный усилитель и т.п.). Многие датчики сигналов (потенциометрические, индукционные и пр.) также обычно рассматриваются как безынерционные.

Апериодическое инерционное звено первого порядка описывается дифференциальным уравнением: T dy/dt + y(t) = k u(t). Передаточная функция звена: W(p) = k/(Tp+1).

Динамические свойства определяются значениями двух величин, k и Т. Т – постоянная времени, k – коэффициент передачи (усиления) звена. Переходная функция:

H(p) = W(p) 1(p) = k/[p(Tp+1)].

При обратном преобразовании Лапласа функции Н(р) по формуле вычетов:

H(t) = k (1-exp(-t/T)

Рис. 3.5.3.

Переходный процесс инерционного звена экспоненциальный - типичный для систем первого порядка (рис. 3.5.3). Выходная величина звена в переходном режиме со скоростью, определяемой величиной Т, следует за изменением входной величины (свойство инерционности). Сигнал на выходе звена нарастает по экспоненте, поэтому звено называют апериодическим. При t→∞ сигнал стремится к значению k.

Весовая функция находится дифференцированием переходной характеристики:

h(t) = (k/T) exp(-t/T) 1(t).

Множитель 1(t) определяет существование функции при t≥0 и обычно опускается (подразумевается по умолчанию).

По переходной характеристике можно определить передаточный коэффициент k, равный установившемуся значению H(t), и постоянную времени Т по точке пересечения касательной к кривой в начале координат с ее асимптотой. Касательная при t=0 равна k/T, а при t=T значение H(t) = 0.63k. Чем больше Т, тем больше длительность переходного процесса. Практически обычно принимают, что переходной процесс заканчивается при t порядка 3T, что соответствует 95% установившегося значения. Импульсная функция h(t) также имеет касательную k/T при t=0, которая пересекает линию установившегося значения 0 в точке t=Т. Характерен скачок функции в начальный момент времени, возникающий из-за наличия на входе d-функции. Так как идеального скачка быть не может, то будет наблюдаться процесс, обозначенный на рис. 3.5.2 пунктиром.

Рис. 3.5.4.

АФЧХ инерционного звена (рис. 3.5.4):

W(jw) = k/(Tjw +1) = k(Tjw-1) /[(Tjw+1)(Tjw-1)] =

= k [1/(T²w² +1) - jTw/(T²w² +1)] =

= k exp(-j arctg Tw) / .

Годограф описывает полуокружность с наинизшей точкой на частоте w=1/Т, при этом фазовый сдвиг равен -p/4, a коэффициент усиления АЧХ равен 0.707k. При изменении частоты от 0 до ∞ радиус-вектор АЧХ монотонно убывает от значения k до 0. Полная АФЧХ для положительных и отрицательных частот представляет собой окружность.

Рис. 3.5.5а.

Пример реализации звена RC-цепочкой приведен на рис. 3.5.5а. Комплексное уравнение выходного напряжения звена в радиотехнике, определяемое законом Ома, записывается в форме:

U_вых(w) = [U_вх(jw)/(R+1/jwC)](1/jwC) = U_вх(jw)/(jwRC+1).

W(w) = U_вых(jw)/U_вх(jw) = 1/(jwRC+1).

W(w) = k/(Tp+1), где p=jw, T=RC, k=1.

Рис. 3.5.6а

На рис. 3.5.6а приведены комплексные АЧХ и ФЧХ приведенного RC-звена при Т=RC=1 и k=1 на частоте (в радианах) от -10 до 10. Как следует из этого рисунка, звено передает на выход, в основном, только низкие частоты входного сигнала (от -1/RC до 1/RC по уровню 0.707) с нарастающим подавлением высоких частот и увеличением их сдвига по фазе по мере роста частоты. Чем меньше инерционность звена (меньше Т=RC), тем больше амплитудная характеристика по своим значимым значениям вытянута по оси частот (шире полоса пропускания).

ЛАЧХ инерционного звена:

L(w) = 20 lg |W(jw)| = 20 lg k – 10 lg(T²w²+1).

Чтобы упростить использование ЛАЧХ, вводят понятие асимптотических ЛАЧХ, то есть кусочно - постоянных функций, не сильно отличающихся от истинных. Они применяются не только для инерционного звена, но и для любых более сложных передаточных функций. Переход к асимптотической ЛАЧХ выполняется в следующем порядке (рис. 3.5.5):

Выделим области низких и высоких частот, по отдельности рассмотрим поведение ЛАЧХ в этих областях и оценим максимальную ошибку, возникающую на границе областей.

В области низких частот T²ω² << 1, и можно пренебречь выражением T²ω². Получаем горизонтальную прямую: L(ω)=20lgk.

В области высоких частот T²ω² >> 1 и значением 1 можно пренебречь. Получаем уравнение прямой с наклоном 10дб./декаду в логарифмических координатах: L(ω)=20lgk - 20lgTω.

Излом асимптотической LАЧХ имеется на ω=1/T (сопрягающая частота), где ошибка максимальна, не зависит от k и T, и равна примерно -3дб.:

ΔL=20lgk-20lgk+10lg(T²ω²+1)= 10lg2 ≈ - 3.03 дб.

Уровень -3 дб. принято считать границей полосы пропускания.

Рис. 3.5.5.

ЛФЧХ асимптотически стремится к нулю при уменьшении w до нуля (чем меньше частота, тем меньше искажения сигнала по фазе) и к значению -p/2 при возрастании w до бесконечности. Перегиб кривой на сопрягающей частоте при j(w) = -p/4. ЛФЧХ всех апериодических звеньев имеют одинаковую форму и могут быть построены по типовой кривой с параллельным сдвигом вдоль оси частот.

Для всех звеньев первого порядка характерен наклон ЛАЧХ 20 дБ/дек и максимальный поворот фазы p/2.

При достаточно больших значениях Т звено на начальном участке может рассматриваться как интегрирующее, при малых Т - как безынерционное. Примеры апериодического звена: термопара, электродвигатель, четырехполюсник из сопротивления и емкости или сопротивления и индуктивности.

Интегрирующее (астатическое) звено. Идеальное интегрирующее звено описывается дифференциальным уравнением первого порядка:

dy/dt = k u(t),

Рис. 3.5.7а.

т.е. скорость изменения выходной величины пропорциональна значению входного сигнала.

Общее решение: y(t) = y(0) + k u(t) dt.

Пример реализации звена – интегрирующая емкость (рис. 3.5.7а).

Рис. 3.5.6.

Передаточная функция звена: W(p) = k/p.

Переходная характеристика при u(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях (рис. 3.5.6):

H(t) = k 1(t) dt = kt. H(p) = k/p².

Весовая функция при u(t) = d(t) и нулевых начальных условиях (рис. 3.5.6):

h(t) = k 1(t). h(p) = k/p.

АФЧХ интегратора: W(jw) = k/jw = -jk/w = k exp(-jp/2)/w.

Рис. 3.5.7.

Интегратор ослабляет высокие частоты пропорционально частоте и неограниченно усиливает («накапливает») низкие частоты. Годограф АФЧХ (рис. 3.5.7) расположен вдоль отрицательной мнимой оси. Фазово-частотная характеристика для положительных частот имеет постоянное значение -π/2, т.е. все частоты звено пропускает с запаздыванием по фазе на 90^о. Радиус - вектор АЧХ при изменении частоты от 0 до ∞ монотонно убывает от значения ∞, стремясь к 0. Коэффициент усиления бесконечно малых частот теоретически неограничен.

ЛАЧХ интегратора:

L(w) = 20 lg |W(jw| = 20 lg k – 20 lg w.

Логарифмическая характеристика представляет собой прямую с отрицательным наклоном 20 дБ/дек, которая проходит через точку 0 дБ на частоте w = k.

При k = 1 звено представляет собой “чистый” интегратор W(p) = 1/p. Интегрирующее звено неограниченно "накапливает" входное воздействие. Примеры интегрирующих звеньев: поршневой гидравлический демпфер, электрическая емкость и т.п.

Интегрирующее звено с замедлением (рис. 3.5.8) описывается дифференциальным уравнением: T d²y(t)/dt² + dy(t)/dt = k u(t).

Передаточная функция звена: W(p) = k/[p(Tp+1)].

Рис. 3.5.8.

Для нахождения временных характеристик звена удобно представить передаточную функцию в виде суммы:

W(p) = k/p – kT/(1+Tp).

Соответственно, решение уравнения будет складываться в виде суммы решений для идеального интегрирующего звена и апериодического звена первого порядка. Переходная характеристика:

H(t) = k[t-T(1-exp(-t/T))] 1(t).

Весовая функция:

h(t) = k[1-exp(-t/T)] 1(t).

Частотные характеристики звена:

L(w) = 20 lg [k/(w )].

График асимптотической ЛАЧХ представляет собой две прямые

L1(w) = 20 lg(k) – 20 lg(w), w < 1/T,

L2(w) = 20 lg(k/T) – 40 lg(w), w > 1/T,

с отрицательными наклонами соответственно 20 и 40 дБ/дек.

Идеальное дифференцирующее звено. Выходная величина звена пропорциональна скорости изменения входной величины (производной от входной величины), а уравнение динамики имеет вид: y(t) = k du(t)/dt. Передаточная функция: W(p) = kp. При k = 1 звено осуществляет чистое дифференцирование W(p) = p.

Рис. 3.5.9.

Идеальное дифференцирующее звено реализовать невозможно, так как величина всплеска выходной величины при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия всегда ограничена, а должна быть бесконечно большой.

Близок к идеальному звену операционный усилитель в режиме дифференцирования (рис. 3.5.9).

Переходная характеристика:

H(t) = k d1(t)/dt = k d(t),

где функция d(t) может имитироваться достаточно коротким (<<RC) импульсом с площадью, равной 1.

Импульсная характеристика:

h(t) = k dd(t)/dt.

Частотная передаточная функция:

W(jw) = kjw.

Дифференцирующее звено с замедлением. На практике используют реальные дифференцирующие звенья, осуществляющие приближенное дифференцирование входного сигнала. Реальное дифференцирующее звено является последовательным соединением двух типовых звеньев - идеального дифференцирующего kp и инерционного 1/(Tp+1). В конечном диапазоне рабочих частот характеристики такого звена могут быть сколь угодно близки к идеальным.

Звено описывается уравнением: T dy(t)/dt + y(t) = k du(t)/dt.

Передаточная функция: W(p) = kp /(Tp+1).

Рис. 3.5.10.

При малых значениях Т звено можно рассматривать как идеальное дифференцирующее.

Переходная характеристика:

H(t) = (k/T) exp(-t/T) 1(t).

Импульсная характеристика:

h(t) = [kd(t)/T – (k/T²) exp(-t/T)] 1(t).

Рис. 3.5.11.

По переходной характеристике, имеющей вид экспоненты (рис. 3.5.10), можно определить передаточный коэффициент k и постоянную времени Т. Примерами звеньев являются четырехполюсники из сопротивления и емкости или сопротивления и индуктивности. Дифференцирующие звенья применяются для улучшения динамических свойств САУ.

Частотная передаточная функция:

W(jw) = kjw/(jwT+1).

Годограф звена (рис. 3.5.11) описывает полуокружность с радиусом, стремящимся к бесконечности, при Т®0. При этом годограф прижимается к положительной мнимой полуоси и стремится к годографу идеального дифференцирующего звена. Частота w=1/T считается максимальной, до которой реальное звено может приниматься за близкое к идеальному.

Рис. 3.5.12.

Частотные характеристики звена приведены на рис. 3.5.12. В области высоких частот реальное звено пропускает сигнал хуже, чем идеальное. При w ® ∞ коэффициент передачи звена стремится к k/T. Фазовые сдвиги, вносимые звеном, являются наибольшими при низких частотах. На высоких частотах фазовый сдвиг стремится к нулю при w ® ∞.

Апериодическое звено второго порядка. Дифференциальное уравнение звена:

T² d²y(t)/dt² + 2rT dy(t)/dt + y(t) = k u(t),

где r - коэффициент (декремент) затухания (демпфирования). Передаточная функция:

W(p) = k/(T²p² + 2r Tp + 1).

Корни характеристического уравнения:

p_1,2 = (-r ± )/T.

Звено будет апериодическим второго порядка, если корни вещественные, или колебательным, если корни комплексные.

Если r ≥ 1, то знаменатель W(p) имеет два вещественных корня и может быть разложен на два сомножителя:

T²p²+2rTp+1 = (T₁p+1)(T₂p+1), T_1,2 = T(r ± ).

Рис. 3.5.13.

Переходная характеристика и весовая функция:

H(t) = k(1-(T₁/(T₁-T₂)) exp(-t/T₁) + (T₂/(T₁-T₂)) exp(-t/T₂)) 1(t).

h(t) = (k/(T₁-T₂)) (exp(-t/T₁) – exp(-t/T₂)) 1(t).

Такое звено эквивалентно двум последовательно включенным апериодическим звеньям первого порядка с общим коэффициентом передачи k и постоянными времени Т₁ и Т₂. Амплитудная частотная характеристика:

A(w) = k/[ ].

Фазовая характеристика: j(w) = - argtg wT₁ – argtg wT₂.

Рис. 3.5.14.

Колебательное звено. При r<1 корни полинома знаменателя W(p) апериодического звена второго порядка комплексно сопряженные. Переходная характеристика представляет собой выражение, характеризующее затухающий колебательный процесс с затуханием r (возможные значения от 0 до 1) и частотой w₀ = 1/T, т.е. переходный процесс представляет собой затухающие колебания относительно установившегося значения (рис. 3.5.14). Примерами колебательного звена могут служить пружина с успокоительным устройством, электрический колебательный контур с активным сопротивлением и т.п.

При r = 0 колебания носят незатухающий характер.

Аналитическая формула переходной характеристики звена:

H(t) = k[1-exp(-gt) (cos lt+(g/l) sin lt)] 1(t), g= (l/p) ln (A₁/A₂), l= w₀ .

Импульсная функция:

h(t) = (kw₀²/l) exp(-gt) sin(lt) 1(t).

Зная характеристики реального устройства можно оценить его параметры как колебательного звена. Постоянная времени Т и коэффициент затухания:

T = T_k/ , r= ln(A₁/A₃) / ,

где T_k – период колебаний, А₁ и А₃ – амплитуды двух соседних полуколебаний одного знака относительно установившегося значения (см. рис. 3.5.14).

Рис. 3.5.15.

АФЧХ колебательного звена:

W(jw) = k/[-T²w² + 2r Tjw +1].

Годограф (рис. 3.5.15) описывает кривую, заходящую в третий квадрант. Фазовый сдвиг на частоте ω₀ равен -π/2, и стремится к -p при дальнейшем увеличении частоты.

ЛАЧХ колебательного звена (рис. 3.5.16):

L(w) = 20 lg k – 10 lg((1-T² w²)² + 4r²T²w²).

При r<0.707 амплитудная частотная характеристика звена имеет резонансный пик на частоте

w_m = w₀ .

Высота пика тем больше, чем меньше параметр затухания, и определяется выражением:

A(w_m) = k/[2r ].

Асимптотическая ЛАЧХ колебательного звена на низких частотах до сопрягающей частоты w₀ = 1/T параллельна оси абсцисс (T²w²<<1, L(w) @ 20 lg k), при дальнейшем увеличении частоты идет с наклоном - 40 дБ/дек, т.е. высокие частоты колебательное звено "заваливает" сильнее, чем апериодическое звено.

Рис. 3.5.16.

Реальная ЛАЧХ при w» w₀ значительно отличается от асимптотической. Это отличие тем существенней, чем меньше коэффициент демпфирования r. В предельном случае r = 0 получаем звено, у которого при w» w₀ амплитуда выходных колебаний стремится к бесконечности.

ЛФЧХ при малых частотах асимтотически стремится к нулю. При увеличении частоты до бесконечности выходной сигнал поворачивается по фазе относительно входного на угол, стремящийся в пределе к -p.

Наклон ЛАЧХ 40 дБ/дек и максимальный поворот фазы до -p характерны для всех звеньев второго порядка.