Вероятностные распределения, применяемые в статистике: гамма-распределение, распределение , распределение Стьюдента

Данные распределения возникают в статистике при анализе различных функций от конечной суммы случайных величин, каждая из которых является элементом некоторой выборки.

Производящая функция моментов. Данная функция представляет собой способ задания вероятностных распределений. Производящая функция используется чаще всего для вычисления моментов. Пусть есть случайная величина с известным распределением. Тогда её производящей функцией моментов называется функция, имеющая вид

.

Если случайная величина дискретна, то есть , то

Если случайная величина непрерывна, то есть задана плотность , то

.

Для вычисления моментов с помощью производящей функции используется следующая формула

.

Гамма-распределение. Данное распределение представляет собой двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Пусть распределение случайной величины задаётся плотностью вероятности, имеющей вид

где - гамма-функция Эйлера, тогда говорят, что случайная величина имеет гамма-распределение с параметрами и . Пишут ~ .

При различных значениях параметров и распределение и распределение Стьюдента являются частными случаями гамма-распределения.