Тема 6. Теория напряженного состояния и теории прочности

Главные напряжения играют весьма важную роль при решении вопроса о прочности материала; одно из этих напряжений является наибольшим, а другое – наименьшим из всех нормальных напряжений для данной точки.

Обратите внимание на полную аналогию между формулами для напряжений в наклонных площадках и формулами для моментов инерции относительно осей, наклонённых к главным. В этих формулах главным напряжениям соответствуют главные моменты инерции; напряжениям в площадках, наклонённых к главным под углом a, соответствуют моменты инерции относительно осей, наклонённых к главным под углом b; касательным напряжениям соответствует центробежный момент инерции.

Аналогию легко продолжить дальше:

● касательные напряжения на главных площадках равны нулю; ● одно из главных напряжений является максимальным, другое – минимальным; ● угол наклона главных площадок находят по формуле   .

● центробежный момент инерции относительно главных осей равен нулю; ● один из главных моментов инерции является максимальным, другой – минимальным; ● угол наклона главных осей находят по формуле   .

При линейном напряжённом состоянии вопрос о прочности материала решается легко: надо определить расчётное сопротивление R из опыта на простое растяжение (или сжатие) и сравнить главное напряжение s с расчётным сопротивлением: .

В случае плоского или объёмного напряжённого состояния задача значительно осложняется, так как неизвестно при какой комбинации числовых значений главных напряжений наступает опасное состояние материала. Необходимо, следовательно, найти некоторое расчётное напряжение, зависящее от главных напряжений, при котором возникает опасность разрушения, и затем численное его значение сравнить с расчётным сопротивлением, установленным из опыта на простое растяжение (или сжатие). В зависимости от того, какой фактор по данной теории прочности считается решающим и создающим опасное состояние материала, применяются соответствующие расчётные формулы.

Литература: [4, гл. 4 и 12]; [5, гл. 3 и 8]; [6, гл. 2, задачи: 1, 7, 11, 16, 28, 35, 36]; [7, гл. 3 и 12].

Вопросы для самопроверки

53. Какие имеются виды напряжённого состояния материала?

54. В чём заключается закон парности касательных напряжений?

55. Чему равна сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам?

56. По каким площадкам возникают наибольшие и наименьшие нормальные напряжения?

57. Как графически определяются напряжения в наклонных площадках в случае плоского напряженного состояния? Как с помощью этого построения находят главные напряжения?

58. Чему равно наибольшее касательное напряжение в случае плоского напряжённого состояния?

59. Как находят максимальные касательные напряжения в случае объёмного напряженного состояния?

60. Как находят деформации при объёмном и плоском напряженном состояниях?

61. Как формулируется первая теория прочности?

62. Как находят расчетное напряжение по второй теории прочности?

63. Зависит ли расчетное напряжение по третьей теории прочности от величины s₂?

64. Чему равна удельная работа деформации при объёмном напряженном состоянии?

65. Какая часть потенциальной энергии деформации учитывается при составлении расчётного уравнения по четвёртой теории прочности?

66. Как находят расчётное напряжение по четвёртой теории прочности?