Общая схема построения графика функции

1. Находим область определения функции.

2. Исследуем функцию на периодичность, четность или нечетность.

3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум.

4. Находим промежутки выпуклости и точки перегиба.

5. Находим асимптоты графика функции.

6. Находим точки пересечения графика функции с осями координат.

7. Строим график.

Прежде чем перейти к примерам, напомним определения четности и нечетности функции.

Функция у = f (х) называется четной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение (– х) также принад-лежит области определения и выполняется равенство f (х) = f (– х). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция у = f (х) называется нечетной для любого значения х, взятого из области определения функции, значение (– х) также принадлежит области определения и выполняется равенство f (– х) = – f (х). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 5. Построить график функции .

Решение:

1. D (у) = (–¥; –1) È (–1; 1) È (1; +¥).

2. – функция нечетная. Следовательно, график функции будет симметричен относительно начала координат.

3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум:

3 х ² – х ⁴ = 0, х ² · (3 – х ²) = 0, х ₁ = 0, х ₂ = , х ₃ = .

х	(–¥; )		(; 0)	–1	(–1; 0)		(0; 1)		(1; )		(; +¥)
у'	–		+	–	+		+	–	+		–
у		2,6		–				–		–2,6

min max

4. Исследуем функцию на выпуклость и точки перегиба:

х = 0 – точка, подозрительная на перегиб.

5. Найдем асимптоты функции:

а) х = –1, х = 1 – вертикальные асимптоты.

Действительно:

б) у = kx + b.

,

Þ у = –1 х + 0 = – х – наклонная асимптота.

6. Найдем точки пересечения с осями координат:

х = 0 Þ у = 0 Þ (0;0) – точка пересечения с осями координат.

7. Строим график: