Степенная функция и ее производная.

Вы уже знаете, что для любого действительного числа α и каждого положительного х определено число х^α. Зафиксируем число α на промежутке (0; ∞).

Определение.

Функция, заданная формулой f (x)=x^α, называется степенной (с показателем степени α).

Если α >0, то степенная функция определена и при х = 0, поскольку 0^α = 0. При целых α формулой f(x)=x^α степенная функция f определена и для x<0. При четных α эта функция четная, а при нечетных α — нечетная. Поэтому исследование степенной функции достаточно провести только на промежутке (0; ∞).В предыдущих разделах курса были получены формулы для производной функции у=х^α лишь при целых показателях степени, а также α =1/2. Теперь нам остается вывести формулу при произвольном α. Докажем, что для любого х из области определения производная степенной функции находится так:

(x^α)` = α x ^α-1.

Действительно, так как х = е^{1п х}, то х^α = е ^{α ln x}. Отсюда по правилу вычисления производной сложной функции получаем:

Формула (1) доказана.

При α <0 степенная функция убывает на промежутке (0; ∞), поскольку (х^α )` = α x^{α -1}<0 при α>0. При α>0 имеем (х^α)' =αх^α-1>0, поэтому степенная функция возрастает при x>0. Кроме того, надо учесть, что при х=0 степенная функция равна 0 и х^α→0 при х𔾴 и x>0. Поэтому точка 0 присоединяется к промежутку возрастания, т. е. при α>0 степенная функция возрастает на промежутке [0; оо). Примеры графиков степенной функции при различных а приведены на рисунке 1.

Из формулы (1) следует, что производной степенной функции f (x) = x^α является степенная функция (f' (х) = αх^α-1). Иначе обстоит дело с первообразной степенной функции.

При а≠ -1 общий вид первообразных степенной функции f(x) = x^α, как легко проверить, таков:

При α= — l, как известно, первообразной функции f является функция F(x) =ln |x| +С.