Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Резонанс в электрических цепях





 

При последовательном соединении элементов R, L, C (рис. 2.12, а) ток в цепи

(2.33)

Из всех возможных соотношений между индуктивным XL и емкостным XC сопротивлениями особый интерес представляет случай, когда эти сопротивления равны, т.е.:

XL=XC (2.34)

В этом случае мнимая часть комплексного сопротивления цепи (рис.2.12, в):

X=XL – XC=0

и тогда полное сопротивление цепи

Z=R,

т. е. сопротивление цепи минимально.

Тогда ток в цепи:

I=U/R

и при U=const, R=const значение его максимально (I=Imax).

Напряжение на индуктивном и емкостном элементах в комплексной форме

U L=- U C

а по значению:

UL=XL×I=XC×I=UC (2.35)

Следовательно:

UL= XL×I= XL×U/R= U×XL/R; (2.36)

UC= XC×I= XC×U/R= U×XC/R (2.37)

Таким образом, напряжения на индуктивном и емкостном элементах могут (и во много раз) превышать напряжение сети в XL/R раз, если XL> R.

Сдвиг по фазе между напряжениями U L и U C равен p (так как эти напряжения находятся в противофазе – рис. 2.12 б).

Такой режим цепи при последовательном соединении элементов R, L, C, когда XL=XC, а напряжение на индуктивном (U L) и емкостном (U C) элементах, находящихся в противофазе, равны по значению и могут превышать напряжение всей цепи, носит название режима резонанса напряжений. Ток и напряжение при этом (рис. 2.13) совпадают по фазе: (yi=yu).


Векторная диаграмма напряжений для режима резонанса представлена на рис. 2.13.

 

 


Рис. 2.13. Векторная диаграмма напряжений для режима резонанса.

 

Активная мощность такой цепи [см. формулы (2.31) и (2.32)]

P= UI×cosj=UI=S, а реактивная мощность Q=UI×sinj=0.

Реактивные же мощности катушки [см. рис. 2.9 и 2.11] QL=XLI2 и конденсатора QC=XCI2 не равны нулю: их мгновенные значения в любой момент времени равны между собой, но обратны по знаку. Происходит непрерывный обмен энергией между магнитным полем катушки и электрическим полем конденсатора (см. ниже п. 2.6).

Равенства индуктивного и емкостного сопротивлений (2.34)

можно добиться, изменяя угловую частоту w, индуктивность L или емкость C.

Угловая частота, при которой наступает резонанс напряжений,

называется резонансной

(2.38)

При резонансной частоте w0 ток достигает максимального значения I=Imax=U/R. Рассмотрим характер изменения напряжений тока при изменении частоты w «влево» (при уменьшении) и «вправо» (при увеличении) относительно w0.

а) При уменьшении частоты «влево» (w<w0) увеличивается сопротивление

XC­=1/wC,

а, следовательно, общее реактивное сопротивление цепи X (w) носит преимущественно емкостной характер (рис. 2.14, а) и становится не равным нулю. И, как следствие, ток

 

 

Рис. 2.14. Частотные зависимости последовательного колебательного контура при резонансе напряжений: а) – частотная зависимость реактивного сопротивления X (w); б) – частотные зависимости U (w), UR (w), UL (w),

UC (w), I (w); в) – фазовая зависимость j (w).

 

уменьшается [см. кривую UC (рис. 2.14 б) слева от w0].

б) При w=0 (что соответствует напряжению постоянного тока), ток в цепи равен нулю I=0 (XC=¥).

в) При увеличении угловой частоты (w>w0) [см. рис. 2.14 а справа от w0] сопротивление цепи X (w) носит индуктивный характер и также становится больше нуля, а ток начинает уменьшаться (рис. 2.14 б справа от ω0).

Напряжения UL и UC при w=w0 равны между собой по значению. Но своих максимальных значений они достигают при частоте, отличной от резонансной (рис. 2.14, б). Напряжение на конденсаторе C:

(2.39)

Напряжение UC максимально тогда, когда функция под квадратным корнем имеет минимум.

Взяв первую производную от UC (2.39) по w и приравняв её нулю , найдём её минимум (так как максимум имеет место при w=¥). Частота, при которой напряжение UC максимально

(2.40)

т.е. (wС<w0)

Поступая аналогично с UL, найдём, что частота, при которой напряжение UL достигает максимума

(2.41)

т. е. wL>w0.

В формулах (2.40) и (2.41) использованы следующие обозначения:

· волновое или характеристическое сопротивление:

(2.42)

· добротность - величина показывающая, во сколько раз напряжение на L (или С) больше напряжения, приложенного к цепи

(2.43)

Чем больше добротность колебательного контура Q, тем меньше отличаются угловые частоты wС и wL от резонансной угловой частоты w0 и тем острее три резонансные кривые I (w), UC (w) и UL (w) (рис. 2.14 б).

Явление резонанса широко используют в установках радиотехники, телевидения, автоматики и других устройствах электроники.

Так, например, соотношения, полученные при анализе последовательного контура, широко используются при синтезе и инженерных расчётах LC, кварцевых и электромеханических фильтров. Для двух последних видов фильтров это можно выполнить, воспользовавшись положениями 1-й или 2-й электромеханических аналогий.

Что касается радиотехнических устройств, то при их расчёте, помимо полученных, используются и другие параметры контура.

 

2.6. Энергетические процессы в резонансном последовательном R – L – C контуре

 

При резонансе напряжений малые количества энергии, поступающие от источника и компенсирующие потери энергии в активном сопротивлении, достаточны для поддержания незатухающих колебаний в системе относительно больших количеств энергии магнитного и электрического полей. Покажем, что при резонансе в любой момент времени суммарная энергия электрического wЭ и магнитного wМ полей

остаётся постоянной.

 

 

- резонансная частота

последовательного контура

 

Рис. 2.15. Резонансный последовательный резонансный R – L – C контур.

Сдвиг по фазе между напряжением на конденсаторе uC и током в цепи i равен четверти периода (Т/4) или 900. Учитывая соотношения между мгновенным, амплитудным и действующим (эффективным) значениями (), напряжение uC и ток iL можно представить

,

.

Действующие значения электрической и электромагнитной энергии контура, представленного на рис. 2.15:

,

.

Тогда общая энергия контура будет:

. (2.44)

Определим напряжение UC, которое имеет место на обкладках конденсатора С:

Но, так контур резонансный, то , а значит

или .

Подставляя последнее выражение в формулу для общей энергии

(2.44), получаем:

 

.(2.45)

 

Полученное выражение можно сформулировать так:

Общая энергия поля резонансного последовательного контура остается постоянной, а значит отсутствует обмен энергии между полем и источником.

Представим кривые, иллюстрирующие характер изменения W, WM и WЭ. – рис. 2.16.

 

Рис. 2.16. Зависимости i, u, uC, wЭ, wM и w при резонансе в последовательном контуре.

Анализируя зависимости рис. 2.16, можно сделать следующие выводы:

1. В начальный момент времени (t=0) вся энергия заключена в поле катушки.

2. В промежуток времени 0 – t1 энергия поля катушки переходит в энергию поля конденсатора.

3. В момент времени t1 вся энергия заключена в поле конденсатора.

4. За время t1....t2 энергия переходит из поля конденсатора в поле катушки.

5. Энергия непрерывно поступает от источника в цепь и выделяется там в виде тепла на резисторе R.

Всё сказанное иллюстрируем схемами рис. 2.17.

 

R R

 
 

 


C L C L

 

 

Рис. 2.17. К иллюстрации колебательного процесса энергий, происходящего в резонансном R – L – C контуре: а) - первая четверть периода, б) – вторая четверть периода (см. рис. 2.16).

 

2.7. Эквивалентное преобразование схем последовательного соединения элементов в параллельное

 

В схемах замещения цепей синусоидального тока зачастую бывает необходимо преобразовать последовательное соединение элементов в эквивалентное параллельное с тем, чтобы упростить анализ некоторых электротехнических цепей или устройств (например, катушки с магнитопроводом).

Предположим, что задано последовательное соединение резистивного элемента с сопротивлением R и элемента с реактивным сопротивлением X (рис. 2.18, а).

 
 

 

 


Рис. 2.18. Эквивалентное преобразование последовательно соединенных комплексных сопротивлений: а) – в последовательно соединенные сопротивления; б) – в параллельно соединенные проводимости.

 

Комплексное сопротивление и проводимость соединения соответственно равны

(2.46)

Параллельное соединение элементов (рис. 2.18, б) будет эквивалентно последовательному (рис. 2.18, а) только в том случае, если комплексные проводимости (или сопротивления) обоих соединений одинаковые, т. е.

(2.47)

(2.48)

Из выражений (2.47) и (2.48) следует, что сопротивления элементов, соединенных параллельно, выражаются через сопротивления элементов, соединённых последовательно следующим образом:

(2.49)

Выразив из (2.49) сопротивления элементов, соединённых последовательно, получим условия обратного эквивалентного преобразования.

 

2.7.[*]


Активный и реактивный токи. Проводимости

 

Для расчёта разветвлённых цепей синусоидального тока вводятся расчётные величины активного и реактивного токов цепи.

Если к цепи, содержащей активное R и индуктивное XL сопротивления (рис. 2.18*), приложено синусоидальное напряжение , то синусоидальный ток в цепи, вызванный этим напряжением, отстаёт от него по фазе на угол j (рис. 2.18*б) .

                         
 
   
   
U
       
b
 
 
   
Y
 
   
 
     
в)
 
 

 


:[U]

 

[с учётом выражений (2.46),(2.47) и (2.48)]
-

Рис. 2.18*. Иллюстрации к понятию активный Ia и реактивный Ip токи в неразветвлённой ветви: а) – схема электрическая, б) – треугольник токов, в) – треугольник проводимостей.

Ток цепи I (рис. 2.18* б) раскладывается на две составляющие, одна из которых Ia совпадает по фазе с напряжением, другая Ip – сдвинута на угол 900.

 

Активный Ia и реактивный Ip токи физического смысла не имеют. Они являются расчётными величинами, т. к. в неразветвлённой цепи ток на всех участках имеет одинаковое значение. Однако введение этих понятий (Ia и Ip) облегчает расчёт разветвлённых цепей. Соотношение между токами определяются из треугольника токов (рис. 2.18*б).

Откуда следует, что:

С другой стороны, известно, что , а и (см. рис. 2.12 в – треугольник сопротивлений).

Тогда активный ток

, (...1)

где: G – активная проводимость цепи (рис. 2.18* в), равная

. (...2)

Величина реактивного тока определяется выражением

, (...3)

где: В – реактивная проводимость цепи (рис. 2.18*в), равная

. (...4)

Величина полного тока цепи равна

, (...5)

где

(...6)

или

(...7).

Активная G и реактивная B проводимости являются соответственно обратными величинами активного R и реактивного X сопротивлений только в том случае, если эти сопротивления (R и X) являются единственными в цепи (или ветви), т. е. если и .

Если в неразветвлённой цепи (или ветви) включены сопротивления R, XL и XC, то для определения проводимостей можно воспользоваться выражениями (...2), (...4), (...6). Соотношения между проводимостями определяются из треугольника проводимостей (рис. 2.18*в).

 

2.8. Параллельное соединение катушки и конденсатора. Резонанс токов

 

В участке цепи, схема замещения которой содержит параллельно соединённые индуктивный, емкостной и резистивные элементы (рис. 2.19) может возникнуть резонанс токов.

 
 

 

 


Рис. 2.19. Параллельный R – L – C контур: а) – схема электрическая, б) – векторная диаграмма, (1)….(4) – последовательность построения векторной диаграммы.

При заданном напряжении питания U комплексное значение общего тока

I = Y × U =Y∙e-jφ∙U∙eu

где

Y = G – jB = G - j(BL- BC)

 

- комплексная и полная проводимости цепи;

- угол сдвига фаз между напряжением и общим током, т. е. аргумент комплексной проводимости.

Действующее значение тока

 

При угловой частоте индуктивная и емкостная проводимости параллельных ветвей равны

BL = BC,

аргумент комплексной проводимости цепи равен нулю

j=0,

т. е.

yi = yu,

а полная проводимость цепи

Y = G.

Общий ток при этом

Iрез = GU

- минимален.

 

При резонансе действующие значения токов в индуктивном и емкостном элементах одинаковы

 

IL = (1/wрезL)U = IC = wрезCU,

 

а сдвиг фаз между токами равен p, так как ток в индуктивном элементе отстаёт от напряжения по фазе на угол p/2, а ток в емкостном элементе опережает напряжение на угол p/2.

На рис. 2.20 показаны амплитудные и фазовые характеристики резонансного параллельного контура.

 

 

 

Рис. 2.20. Частотные зависимости для параллельного R – L – C контура: а) – зависимости проводимостей (BL, Bc и B); б) – зависимости токов I, IL, IC; в) – фазо-частотная зависимость φ (ω); г) – нормированные значения резонансных токов при различных значениях добротностей (Q1>Q2>Q3) контура.

1. 0 - w0 (B>0): Ток отстаёт от напряжения (преобладает индуктивная проводимость BL);

2. w0 (B=0): I = U×G Ток совпадает по фазе с напряжением

3. w0 - ¥ (B<0): Ток упреждает напряжение (преобладает ёмкостная проводимость BC)

 

В емкостном элементе ток IC = wCU возрастает пропорционально угловой частоте (рис. 2.20 б);

- в индуктивном элементе ток IL = U/(wL) обратно пропорционален угловой частоте;

- в резистивном элементе ток IR = U/R от угловой частоты не зависит. Точка пересечения кривых IC (w) и IL (w) соответствует резонансу токов, при котором I = IR = Iрез.

На амплитудной I(w) и фазовой характеристике φ(w) (рис. 2.20 б) можно отметить 3 участка:

- в диапазоне частот 0......w0 проводимость BL>BC; B = BL- BC>0 (рис. 2.20 а) и, как следствие – ток отстаёт от напряжения на зажимах цепи. Этот участок амплитудно-частотной характеристики носит индуктивный характер;

- частота изменения напряжения в цепи w = w0 = wрез. При этом BL= BC BL- BC=0; (на рис. 2.20 а показано равенство соответствующих ординат). В этом случае ток I = U ×G совпадает по фазе с напряжением U на зажимах цепи;

- в диапазоне частот w0......¥ BC становится больше BL и, как следствие, B<0 и ток I опережает напряжение U. Данный участок частотной характеристики носит емкостной характер.

На основании равенства I L = jBL× U = jBC× U = I C строится векторная диаграмма токов при резонансе (рис. 2.21)

 


Рис. 2.21. Векторная диаграмма при резонансе в параллельном R–L–C-контуре.

Реактивные токи равны и находятся в противофазе, поэтому ток I в неразветвлённой части цепи при резонансе токов равен активному току Ia и совпадает по фазе с напряжением U, т. е. j = 0, а cosj = 1.

Следовательно, вся мощность цепи S при резонансе токов является активной P:

P = S×cosj = S

Эта активная мощность компенсирует потери на активном сопротивлении в параллельном резонансном контуре. Мощность (энергия) колеблется между электрическим полем конденсатора и магнитным полем индуктивности при резонансе не является реактивной, т. к. не загружает источник и провода.

Последовательно с индуктивным элементом L параллельного контура может быть включён резистивный элемент RL=1/G1, а последовательно с емкостным элементом C – резистивный элемент RC=1/G2, учитывающие, например, потери энергии в проводах и собственные потери, которые свойственны реальным катушкам и, в меньшей мере, конденсаторам (рис. 2.22 а).

 


б)

 

 
 


:[U]

 

 


Рис. 2.22. Параллельное соединение катушки и конденсатора, в цепь каждого из которых последовательно включены резисторы: а) – схема электрическая, б) – векторная диаграмма, в) – треугольник проводимостей.

Условием резонанса токов в такой цепи будет равенство индуктивной и емкостной проводимостей этих ветвей [см. формулу (2.48)]:

(2.50)

После ряда преобразований равенства (2.50) при условии w = wрез может быть определена частота резонанса токов для схемы рис. 2.22:

(2.51)

Из выражения (2.51) следует, что при равенстве активных сопротивлений ветвей RL = RC ¹ r и при RL << r и RC << r резонансная частота

и в этом случае условие резонанса токов совпадает с условием резонанса напряжений.

Если в резонансном контуре или , то резонанса токов добиться невозможно.

При расчёте радиотехнических цепей, содержащих параллельные контуры, зачастую вводятся понятия:

- волновой проводимости

;

- затухания

,

характеризующего скорость затухания колебаний однажды начавшихся в контуре, и

- добротность

.

Отметим, что резонанс токов в отличие от резонанса напряжений – явление безопасное для энергетических установок.

 

2.9. Энергетические процессы, происходящие в резонансном параллельном R – L – C контуре

 

По аналогии с последовательным R – L – C контуром электрическая энергия параллельного контура может быть представлена как сумма энергий электрического wЭ и магнитного wМ полей

.

 

       
 
   
uL= uC= u - резонансная частота параллельного контура
 

 


Рис. 2.23. Параллельный резонансный R – L – C контур.

 

При этом

Так как контур резонансный, то

,

а ток

.

Общая энергия, запасённая контуром, будет

.

Как и в случае последовательного резонансного контура общая энергия поля параллельного контура остаётся постоянной (рис.2.24 а), а значит – отсутствует обмен энергий между цепью и источником. Если более строго, то следует сказать, что источник посылает энергию лишь на покрытие потерь в активном сопротивлении.

Энергия магнитного поля катушки в течение четверти периода тока (рис. 2.24 б) переходит в энергию электрического поля конденсатора, а в последующую четверть периода (рис. 2.24 в) возвращается обратно.

 

 
 
а)

 


В заключение следует отметить следующее:

1. Резонансная частота wрез является собственной частотой ω0 незатухающих колебаний контура (ω0рез).

2. Резонанс –явление, когда собственные незатухающие колебания контура совпадают с частотой напряжения источника.

3. Колебательный процесс затухает тем интенсивнее, чем больше R и G. Величина затухания d характеризует скорость затухания колебаний однажды начавшихся в контуре.

4. В любой, сколь угодно сложной, цепи при резонансе обмен энергии между источником и цепью отсутствует.

 


Date: 2016-07-25; view: 1712; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.006 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию