Законы Кирхгофа в операторной форме

По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы равна нулю.

(1)

Применим преобразование Лапласа к уравнению (1) и воспользуемся тем, что изображение суммы равно сумме изображений. Имеем:

В общем случае:

(2)

Уравнение (2) выражает собой первый закон Кирхгофа в операторной форме.

Второй закон:

Для любого замкнутого контура любой электрической цепи можно составить уравнение по второму закону Кирхгофа для линейных значений предварительно необходимо выбрать положительное направление для токов в ветвях и направление обхода контура. Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, который ниже. Контур обходим по часовой стрелке. Учтем, что индуктивности и связаны магнитно. При выбранных положительных направлениях для токов и между и имеет место согласное включение.

Падение напряжения на равно ; на равно

При составлении уравнения учтем, что начальное напряжение равно . Пусть оно действует согласно с током . Начальное значение тока и тока .

Имеем

(3)

Каждое из слагаемых (3) заменим операторным выражением:

Подставив (4) в (3), объединим слагаемые с , перенесем в правую часть и другие внутренние ЭДС и получим:

(5)

Здесь

В более общем случае выражение (5) можно записать так:

(6)

Уравнение (6) представляет собой математическую запись второго закона Кирхгофа в операторной форме. В состав в общем случае входят и внутренние ЭДС.