Эквивалентные бесконечно малые функции

1. Замечательные пределы:

· первый замечательный предел: ;

· второй замечательный предел:

,

или в другой форме: ,

где – иррациональное число.

Второй замечательный предел используется для раскрытия неопределенно­сти вида .

2. Две бесконечно малые функции (x) и (x) называются эквивалентными при , если = 1. В этом случае пишут a(x) ~b(x) при .

Предел отношения двух бесконечно малых функции не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой функцией.

Наиболее часто используют эквивалентность следующих бесконечно малых функций при :

sin ~ ;	arcsin ~ ;
tg ~ ;	arctg ~ ;
ln(1+ ) ~ ;	~ .

Задача. Вычислить пределы: а) б)

Решение.

В рассматриваемых задачах неопределенность вида была раскрыта после замены бесконечно малых функций на эквивалентные им и сокращения полученных дробей на бесконечно малую функцию х.

Ответ.

Задача. Вычислить предел

Решение.

Очевидно, что

Далее воспользуемся вторым замечательным пределом:

Ответ.

Задачи 41– 50