Интерполяция. Конечные разности и интерполяционная формула Ньютона!!!

Если узлы интерполяции являются равноотстоящими, т.е. образуют арифметическую прогрессию:

где называют шагом интерполяции, то лучше использовать более простую интерполяционную формулу Ньютона. Эта формула построена на т.н. конечных разностях функции

Определение. Конечной разностью первого порядка величины называют разность между двумя её последовательными табличными значениями.

Конечной разностью второго порядка называется разность между двумя последовательными разностями первого порядка.

Аналогично определяются разности более высоких порядков.

Для вывода формулы Ньютона нам потребуются конечные разности до порядка включительно. Поэтому составляется таблица:

Используя эту таблицу можно найти

(*)

В (*) есть табличный номер или число шагов, отделяющих табличное значение от Т.е.

т.к.

Если теперь вычислять нетабличное и сохранить вид правой части (*), то величина будет давать нам для любого табличного тогда как для мы будем получать значения т.е.

В развернутой форме является многочленом степени не выше и представляет собой интерполяционную формулу Ньютона.

Можно показать, что для равноотстоящих узлов формулы Лагранжа и Ньютона дают один и тот же многочлен, т.е. являются тождественными.