Свойства непрерывных функций!!!

Пусть функция f(x) определена в окрестности точки Xo. Функция y=f(x) непрерывна в точке X=Xo, если lim (x->xo) f(x) = f(xo)

Равномерно непрерыв: Ф-ция f(x), определенная в замкнутом интерв [a,b] непрерывна равномерн, если для произвольного E>0 можно так разбить замкн интерв [a,b] на конечное число интерв [ai,ai+1] i=1,…,n

[ai,ai+1]= [a,b], что знач ф-ции в двух произв точках одного и того же интерв отлич меньше, чем на Е

Св-ва:

Ф-ция равномерно непрерывная в интерв [a,b]:

1) непрер в кажд точке интерв

2) равномерно непрер в этом интерв

3) ограничена в этом интерв

Свойства

Локальные

· Функция, непрерывная в точке , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.

· Если функция непрерывна в точке и (или ), то (или ) для всех , достаточно близких к .

· Если функции и непрерывны в точке , то функции и тоже непрерывны в точке .

· Если функции и непрерывны в точке и при этом , то функция тоже непрерывна в точке .

· Если функция непрерывна в точке и функция непрерывна в точке , то их композиция непрерывна в точке .

Глобальные

· Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.

· Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.

· Областью значений функции , непрерывной на отрезке , является отрезок где минимум и максимум берутся по отрезку .

· Если функция непрерывна на отрезке и то существует точка в которой .

· Если функция непрерывна на отрезке и число удовлетворяет неравенству или неравенству то существует точка в которой .

· Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.

· Монотонная функция на отрезке непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами и .

· Если функции и непрерывны на отрезке , причем и то существует точка в которой Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.