Бесконечно малые, бесконечно большие величины

Понятие ф-и и способы ее задания

Постоянная величина-величина,сохраняющая свое значение(число пи). Параметром называется величина,кот. сохраняет свое постоянное значение лишь в условиях данного процесса. Переменной называется величина,кот. может принимать различные числовые значения. Пусть заданы 2 числ.мн-ва Х и У. если каждому элементу мн-ва Х ставится в соответствие вполне определ.знач. У, то говорят,что на мн-ве Х задана ф-я: у=f(x)х-аргумент,у-зависимая переменная,f-закон соответствия.мн-во Х – область определения ф-и, мн-во У – область значений ф-и. способы задания:1) табличный.2)аналитический(ф-я задается с помощью формулы).3)графический(график функци – мн-во на оордин.плоскости).4)словесный(ф-я описывается правилом ее составления).

Основные элементарные ф-и и их св-ва.

Функции в экономике

Наиболее часто в эк-ке используются:1)ф-я полезности(предпочтений) – это зависимость результата эффекта некоторого действия от интенсивности этого действия.2)производственная – результат произв.деятельности от обусловивших его факторов.3)ф-я выпуска – зависимость объема пр-ва от наличия или потребления ресурсов(частный случай ф-и 2).4)ф-я издержек – это зависимость издережек пр-ва от объема выпуска продукции(частный случай ф-и 2).5)ф-я спроса,потребления,предложения – зависимостьобъема спроса,потрбл.,предл на отдельные товары и услуги от различных факторов(цены,дохода и др.). Примеры использования этих ф-й: 1)исследуя зависимость спроса на различн.товары от дохода, можно установить уровни доходов,при кот. начинается потребление товаров и уровни насыщения на товары1й,2й необходимости и предметы роскоши. Функции Торнквиста: y1=b1*(x-a1)/(x-c1) x>a1 – 1я необходимость; y2=b2*(x-a2)/(x-c2) x>a2 – 2я необходимость; y3=b3*(x-a3)/(x-c3) x>a3 – роскошь; а1,а2,а3 – уровни доходов; b1,b2,b3 – уровни насыщения. На этом графике заменить D3=b3, D2=b2,D1=b1 и I1=a1,I2=a2,I3=a3. I – доходы, D – объем спроса. 2)рассматривая в одной системе координат ф-и спроса и предложения, можно установить равновеснцю(рыночную) цену данного товара в процессе формирования цен в условиях рыночной экономики.3)изучая в теории потребления и спроса кривые безразличия(линия, вдоль которой полезность 2х благ одна и та же),например заданные в виде xy=U и линию бюджетного ограничения p_x*x+p_y*y=I при ценах благ p_x и p_y и доходе потребления I можно установить оптимальное количество благ x₀,y₀, имеющих максимальную полезность U₀.4)рассматривая ф-и издержек и дохода фирмы,можно установить зависимость прибыли от объема прва q. П(q)=C(q)-r(q), также можно выявить уровни q, при которых пр-во убыточно, приносит прибыль, дает макс.убыток или макс.прибыль;также можно определить размеры убытков и прибыли.

Вопрос 4. Числовая последовательность и ее пределы.

Числовая последовательность – совокупность чисел(конеч.,бесконеч.), заданная по опред.gравилу. {аn} или (аn) чп – функци натурального аргумента. Входящие числа – элементы или члены. аn – общий член последовательности. Может быть задана:

- перечислением элементов 2,4, 6…2n

- аналитически 1) аn = n! формула n члена 2) а1 задать аn(задаетсячерез аn-1) рекурентный способ задания последовательности.

Предел последовательности. А называют пределом последовательности (Хn), если сущ.Е>0 найдется такой номер N, что для всех n>N выполняется /Xn-a/<Е

а = Если число а конечное, то послед сходящаяся, если число а бесконечное, то послед.расходящаяся.

эпселонт окрестности /Xn-a/<Е -Е< Xn-a <Е а-Е < Xn < а+Е

геометрический смысл предела. а – предел числ.послед., если сущ Е>0 найдется N, начиная с кот.все члены послед.будут заключены в Е-окрестности точки а, какой бы узкой она не была. За пределами Е-окр. Находится конечное число Е – последовательности.

Вопрос 5. Предел функции, основные теоремы о пределах.

Пусть задана у=f(х). А – предел функции при х а, если сущ. Е>0 найдется ƅ= ƅ(Е)>0 (положит.дельта,зависящая от Е) такое, что выполнение неравенства /х-а/<Е влечет за собой выполнение неравенства /f(х)-А/<Е. А =

Эквивал.опред.: Т.к. ф-я у=f(х) задана на облюопред.,то обл.опред. представлена множеством Х.

Д(у): Х: х1,х2…хn, т.е. есть некая последовательность

Е(f): У: f(х1), f(х2)… f(хn) следовательно). А – предел функции при х а, если сходимость последов. хn а влечет f(хn) а

Геометрически А – предел функции при х а, если сущ. Е>0 найдется ƅ окрестностьт.а, что сущ. х не равное а из этой окрестн.соответствуют ординаты гр. f(х) будут заключены в полосе А-Е <f(х)<А+Е

Число а может быть как конечым, так и бесконечным. Если а то определение предела остается справедливым, только будет выглядеть А – предел функции при х , если сущ. Е>0 найдется ƅ= ƅ(Е)>0, что /х/> ƅ влечет /f(х)-А/<Е

Помимо определения предела у функции можно определить односторонние пределы, т.е. слева и справа.

Если х а: х<а предел слева, х>а – справа. Бывает, что они совпадают. И бывает, что не равны.

1.Предел постоянной величиныравен самой постоянной величине.

2. Если заданы две функции, от имеют пределы.То предел суммы-разности этихфункций будет равен сумме-разности этих функций.

3. Аналогично с умножением и делением(при знаменателе не равном нулю)

Признак: Если числ.послед. монотонна и ограничена,то она имеет предел.

Вопрос 6. 1ый и 2ой замечательные пределы.

1ый зам.предел = 1 ()

2йо зам.предел = е (или поменять местами степень и дробь) е = 2,718

Применение 2ого предела.

2зам.пред. используется при решении задач о непрерывном начислении процентов – является эффективным при анализе сложных финансовых проблем, в частности – при обосновании и выборе инвестиционных решений.

Пусть первонач.вклад составляет Qо ден.ед. Банк выплачивает р% годовых. Проценты по вкладу начисляются n раз в год. Тогда размер вклада Qt (наращ.капитал) через t лет вычисляется по формуле сложных %.

Qt = Qo Qo где I – годовая % ставка

При непрерывном начислении %, когда n- наращ.капитал Qt можно вычислить через предел. Qt =

Используя формулу 2ого зам.предела, найдем Qt. Qo – величина постоянная, поэтому

= = = = =

Qt = = Qo * !!!

Бесконечно малые, бесконечно большие величины

① α(x)-б.м.в, если ее предел =0

Св-ва:

1)Если α1(x), α2(x) б.м.в. => б.м.в. будут:

· α1(x)+- α2(x)

· с* α1(x), с-const,

· f(x)*α1(x), где f(x)-ограниченная

· α1(x)*α2(x)

· α1(x)/f(x),если lim f(x) ≠ 0 при x-> a

2)б.м.в.- можно сравнивать

Если б.м.в. α1(x), α2(x) и lim α1(x)/α2(x) = k, то

ü Если k =0, то б.м.в. α1(x) более высокого порядка, чем α2(x)

ü Если 0< k <∞, то б.м.в. α1(x), α2(x) одного порядка малости

ü Если k =∞, то б.м.в. α1(x) более низкого порядка, чем α2(x)

ü Если k=1, то б.м.в. α1(x), α2(x) эквиваленты

Примеры эквивалентных б.м.в.:

При x-> 0 sin(x)~x, ln(1+x)~x, arcsinx~x

② β(x)- б.б.в., при x-> a, если для любого сколь угодно большего М> 0 найдется такое δ=δ(М), δ>0, что для любого x≠a, и |x-a|<δ выполняется:

|β(x)|>M

Cв-ва:

1)Если β(x)- б.б.в. при x-> a,то б.б.в. будут:

· β(x)*ϕ(x), где ϕ(x)-ограниченная

· β(x)+-ϕ(x),

· β(x)/ϕ(x), если lim ϕ (x) ≠ 0 при x-> a

2)б.б.в.- можно сравнивать

Если β1(x), β2(x)-б.б.в. и для любого lim β1(x)/β2(x)=k,то при

ü 0< k <∞, то β1(x), β2(x)-имеют одинаковый порядок роста

ü k=∞, то β1(x) имеет более высокий порядок роста, чем β2(x)

Связь б.м.в. и б.б.в.:

1)если α(x)-б.м.в.,то β(x)=1/ α(x) при x-> a является б.б.в.

2)если β(x)-б.б.в,то α(x)=1/ β(x) является б.м.в.